\(f(x)\) はすべての実数 \(x\) において微分可能な関数で, 関係式 \[ f(2x) = ( e^x+1 ) f(x) \] をみたしているとする. 以下の問に答えよ.
(1) \(f(0) =0\) を示せ.
(2) \(x \neq 0\) に対して \[ \dfrac{f(x)}{e^x-1} = \dfrac{f \left( \frac{x}{2} \right)}{e^{\frac{x}{2}}-1} \] が成り立つことを示せ.
(3) 微分の定義を用いて, \(f'(0) = \displaystyle\lim _ {h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)}{e^h-1}\) を示せ.
(4) \(f(x) = (e^x-1) f'(0)\) が成り立つことを示せ.
\(n\) 個の球と \(n\) 個の箱がある. 各球を無作為にどれかの箱に入れる. すなわち各球を独立に確率 \(\dfrac{1}{n}\) でどれか \(1\) つの箱に入れるものとする. \(n \geqq 3\) のとき, \(2\) 箱のみが空になる確率を \(p _ n\) とする. 以下の問に答えよ.
(1) \(p _ 3 , p _ 4\) を求めよ.
(2) \(n \geqq 4\) とする. \(2\) 箱のみが空で, \(1\) 箱に \(3\) 個の球が入り, その他の \((n-3)\) 個のそれぞれに \(1\) 個の球が入る確率 \(q _ n\) を求めよ.
(3) \(n \geqq 5\) に対し, \(p _ n\) を求めよ.
(4) (2) で求めた \(q _ n\) について, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{q _ n}{p _ n}\) を求めよ.
\(xyz\) 座標空間において, 原点を中心とする半径 \(1\) の球面 S 上に点 N \((0,0,1)\) をとる. また \(0 \lt \theta \lt \pi\) をみたす \(\theta\) に対し, 次の \(2\) つの条件
(a) \(\text{NP} = \text{NQ}\)
(b) \(\angle \text{PNQ} = \theta\)
をみたす S 上の動点 P , Q について, 線分 PQ が通過してできる立体図形 T を考える. 以下の問に答えよ.
(1) 点 P と点 Q の \(z\) 座標は等しいことを示せ.
(2) 点 P が平面 \(z=h\) 上にあるとき, 線分 PQ の長さを \(\theta\) と \(h\) で表せ.
(3) T を平面 \(z=h\) で切ったときの断面の概形を描き, その面積を \(\theta\) と \(h\) で表せ.
(4) \(h\) のとりうる値の範囲に注意して, T の体積 \(V\) を \(\theta\) で表し, \(\theta\) を動かしたときの \(V\) の最大値を求めよ.
\(a , b , c\) を実数として \(f(x) = x^4 +ax^3 +bx^2 +cx +2\) とする. 行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} -1 & -1 \\ 1 & -1 \end{array} \right)\) と単位行列 \(E\) に対して, \(A^4 +aA^3 +bA^2 +cA +2E = O\) （ただし \(O\) は零行列）とする.
(1) \(b , c\) を \(a\) を用いて表せ.
(2) 方程式 \(f(x) = 0\) が少なくとも \(1\) つ正の解を持つとき, \(a\) のとりうる値の範囲を求めよ.
三角形 ABC で辺 AC を \(s : 1-s\) に内分する点を P , 辺 BC を \(t : 1-t\) に内分する点を Q , 線分 AQ と線分 BP の交点を R とする. このとき, \[ \text{△APR の面積} = 2 \times ( \text{△BQR の面積} ) \] が成り立っているとする.
(1) \(s\) を \(t\) を用いて表せ.
(2) 極限 \(\displaystyle\lim _ {t \rightarrow +0} \dfrac{s}{t}\) を求めよ. ただし, \(t\) が正の範囲で \(0\) に限りなく近づくとき, \(t \rightarrow +0\) と表す.
曲線 \(C : \ y = \log x\) 上の点 P \(( a, \log a )\) , 点 Q \(( b, \log b )\) （ \(1 \lt a \lt b\) ）をとる. 点 P , Q から \(x\) 軸に下ろした \(2\) 本の垂線と \(x\) 軸および曲線 \(C\) で囲まれた部分の面積を \(S\) とする. 点 P , Q から \(y\) 軸に下ろした \(2\) 本の垂線と \(y\) 軸および曲線 \(C\) で囲まれた部分の面積を \(T\) とする. このとき, \(S = T\) となるように \(b\) がとれる \(a\) の値を求めよ.
次の問に答えよ.
(1) \(3x+2y \leqq 2008\) を満たす \(0\) 以上の整数の組 \((x,y)\) の個数を求めよ.
(2) \(\dfrac{x}{2} +\dfrac{y}{3} +\dfrac{z}{6} \leqq 10\) を満たす \(0\) 以上の整数の組 \((x,y,z)\) の個数を求めよ.
袋 A の中に赤玉と白玉がそれぞれ \(4\) つ入っていることと, 袋 B の中に赤玉 \(3\) つと白玉 \(2\) つが入っていることがわかっている.
(1) 袋 B から \(2\) つの玉を取り出すとき, 取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ.
(2) 袋 A から \(3\) つの玉を取り出し, そのあと袋 B から \(2\) つの玉を取り出す. その \(5\) つの玉のうち赤玉が \(3\) つである確率を求めよ.
(3) 袋 A から \(3\) つの玉を取り出したあとで, \(2\) つの玉を袋 A から取り出すかあるいは \(2\) つの玉を袋 B から取り出すかのどちらかを選択できるとする. できるだけ多くの赤玉を取り出そうと選択したとき, 最終的に取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ.