\(n\) 枚のカードを積んだ山があり, 各カードには上から順番に \(1\) から \(n\) まで番号がつけられている. ただし, \(n \geqq 2\) とする. このカードの山に対して次の試行を繰り返す. \(1\) 回の試行では, 一番上のカードを取り, 山の一番上にもどすか, あるいはいずれかのカードの下に入れるという操作を行う. これら \(n\) 通りの操作はすべて同じ確率であるとする. \(n\) 回の試行を終えたとき, 最初一番下にあったカード（番号 \(n\) ）が山の一番上にきている確率を求めよ.
\(A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) を \(ad-bd = 1\) をみたす行列とする（ \(a , b , c , d\) は実数）. 自然数 \(n\) に対して平面上の点 \(\text{P} {} _ n \, \left( x _ n , y _ n \right)\) を \[ \left( \begin{array}{c} x _ n \\ y _ n \end{array} \right) = A^n \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \] により定める. \(\overrightarrow{\text{OP} {} _ 1}\) と \(\overrightarrow{\text{OP} {} _ 2}\) の長さが \(1\) のとき, すべての \(n\) に対して \(\overrightarrow{\text{OP} {} _ n}\) の長さが \(1\) であることを示せ. ここで O は原点である.
\(xy\) 平面上で原点を極, \(x\) 軸の正の方向を始線とする極座標に関して, 極方程式 \(r = 2 +\cos \theta \quad \left( 0 \leqq \theta \leqq \pi \right)\) により表される曲線を \(C\) とする. \(C\) と \(x\) 軸とで囲まれた図形を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転して得られる立体の体積を求めよ.
\(a\) と \(b\) を互いに素, すなわち \(1\) 以外の公約数を持たない正の整数とし, さらに \(a\) は奇数とする. 正の整数 \(n\) に対して整数 \(a _ n , b _ n\) を \(\left( a+b \sqrt{2} \right)^n = a _ n +b _ n \sqrt{2}\) をみたすように定めるとき, 次の (1) , (2) を示せ. ただし \(\sqrt{2}\) が無理数であることは証明なしに用いてよい.
(1) \(a _ 2\) は奇数であり, \(a _ 2\) と \(b _ 2\) は互いに素である.
(2) すべての \(n\) に対して, \(a _ n\) は奇数であり, \(a _ n\) と \(b _ n\) は互いに素である.
自然数 \(m \geqq 2\) に対し, \(m-1\) 個の二項係数 \[ {} _ {m} \text{C} {} _ {1} , {} _ {m} \text{C} {} _ {2} , \cdots , {} _ {m} \text{C} {} _ {m-1} \] を考え, これらのすべての最大公約数を \(d _ m\) とする. すなわち \(d _ m\) はこれらすべてを割り切る最大の自然数である.
(1) \(m\) が素数ならば, \(d _ m=m\) であることを示せ.
(2) すべての自然数 \(k\) に対し, \(k^m-k\) が \(d _ m\) で割り切れることを, \(k\) に関する数学的帰納法によって示せ.
(3) \(m\) が偶数のとき \(d _ m\) は \(1\) または \(2\) であることを示せ.
実数を成分にもつ行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) と実数 \(r , s\) が 下の条件 (i) , (ii) , (iii) をみたすとする.
(i) \(s \gt 1\)
(ii) \(A \left( \begin{array}{c} r \\ 1 \end{array} \right) = s \left( \begin{array}{c} r \\ 1 \end{array} \right)\)
(iii) \(A^n \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x _ n \\ y _ n \end{array} \right)\) （ \(n= 1, 2, \cdots\) ）とするとき, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} x _ n = \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} y _ n = 0\)
このとき以下の問に答えよ.
(1) \(B = \left( \begin{array}{cc} 1 & r \\ 0 & 1 \end{array} \right)^{-1} A \left( \begin{array}{cc} 1 & r \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) を \(a , c , r , s\) を用いて表せ.
(2) \(B^n \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} z _ n \\ w _ n \end{array} \right)\) （ \(n= 1, 2, \cdots\) ）とするとき, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} z _ n = \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} w _ n = 0\) を示せ.
(3) \(c=0\) かつ \(| a | \lt 1\) を示せ.
スイッチを \(1\) 回押すごとに, 赤, 青, 黄, 白のいずれかの色の玉が \(1\) 個, 等確率 \(\dfrac{1}{4}\) で出てくる機械がある. \(2\) つの箱 L と R を用意する. 次の \(3\) 種類の操作を考える.
(A) \(1\) 回スイッチを押し, 出てきた玉を L に入れる.
(B) \(1\) 回スイッチを押し, 出てきた玉を R に入れる.
(C) \(1\) 回スイッチを押し, 出てきた玉と同じ色の玉が, L になければその玉を L に入れ, L にあればその玉を R に入れる.
(1) L と R は空であるとする. 操作 (A) を \(5\) 回おこない, さらに操作 (B) を \(5\) 回おこなう. このとき L にも R にも \(4\) 色すべての玉が入っている確率 \(\text{P} {} _ 1\) を求めよ.
(2) L と R は空であるとする. 操作 (C) を \(5\) 回おこなう. このとき L に \(4\) 色すべての玉が入っている確率 \(\text{P} {} _ 2\) を求めよ.
(3) L と R は空であるとする. 操作 (C) を \(10\) 回おこなう. このとき L にも R にも \(4\) 色すべての玉が入っている確率を \(\text{P} {} _ 3\) とする. \(\dfrac{\text{P} {} _ 3}{\text{P} {} _ 1}\) を求めよ.
\(a\) を正の実数とし, 空間内の \(2\) つの円板 \[\begin{align} D _ 1 & = \big\{ (x, y, z) \big| x^2+y^2 \leqq 1 , z=a \big\} , \\ D _ 2 & = \big\{ (x, y, z) \big| x^2+y^2 \leqq 1 , z=-a \big\} \end{align}\] を考える. \(D _ 1\) を \(y\) 軸のまわりに \(180^{\circ}\) 回転して \(D _ 2\) に重ねる. ただし回転は \(z\) 軸の正の部分を \(x\) 軸の正の方向に傾ける向きとする. この回転の間に \(D _ 1\) が通る部分を \(E\) とする. \(E\) の体積を \(V(a)\) とし, \(E\) と \(\big\{ (x, y, z) \big| x \geqq 0 \big\}\) との共通部分の体積を \(W(a)\) とする.
(1) \(W(a)\) を求めよ.
(2) \(\displaystyle\lim _ {a \rightarrow \infty} V(a)\) を求めよ.