\(xyz\) 空間の原点と点 \((1, 1, 1)\) を通る直線を \(\ell\) とする.
(1) \(\ell\) 上の点 \(\left( \dfrac{t}{3} , \dfrac{t}{3} , \dfrac{t}{3} \right)\) を通り \(\ell\) と垂直な平面が, \(xy\) 平面と交わってできる直線の方程式を求めよ.
(2) 不等式 \(0 \leqq y \leqq x(1-x)\) の表す \(xy\) 平面内の領域を \(D\) とする. \(\ell\) を軸として \(D\) を回転させて得られる回転体の体積を求めよ.
放物線 \(C : \ y=x^2\) 上の点 \(\text{A} _ 1 \left( a _ 1 , {a _ 1}^2 \right)\) , \(\text{A} _ 2 \left( a _ 2 , {a _ 2}^2 \right)\) , \(\text{A} _ 3 \left( a _ 3 , {a _ 3}^2 \right)\) , ... を, \(\text{A} _ {k+2}\) （ \(k \geqq 1\) ）における \(C\) の接線が直線 \(\text{A} _ k \text{A} _ {k+1}\) に平行であるようにとる. ただし, \(a _ 1 \lt a _ 2\) とする. 三角形 \(\text{A} _ k \text{A} _ {k+1} \text{A} _ {k+2}\) の面積を \(T _ k\) とし, 直線 \(\text{A} _ 1 \text{A} _ 2\) と \(C\) で囲まれた部分の面積を \(S\) とする. このとき次の問いに答えよ.
(1) \(\dfrac{T _ {k+1}}{T _ k}\) を求めよ.
(2) \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} T _ k\) を \(S\) を用いて表せ.
行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} \cos \dfrac{\pi}{3} & -\sin \dfrac{\pi}{3} \\ \sin \dfrac{\pi}{3} & \cos \dfrac{\pi}{3} \end{array} \right)\) の表す \(1\) 次変換を \(f\) とする. 点 P \(( 16\sqrt{3}, 16 )\) をとり, \(\text{P} _ 1 = f( \text{P} )\) , \(\text{P} _ {n+1} = f( \text{P} _ n )\) （ \(n=1, 2, 3, \cdots\) ）とする. 正の整数 \(k\) に対して, 次の条件をみたす領域を \(D _ k\) とする. \[ x \lt 0 , \ y \lt 0 , \ \sqrt{3}x +y \leqq -2^{-k} \] このとき \(D _ k\) に含まれる \(\text{P} _ n\) の個数を \(k\) で表せ.
\(\alpha\) を \(2\) 次方程式 \(x^2-2x-1 = 0\) の解とするとき, \(( a+5 \alpha )( b+5c \alpha )=1\) をみたす整数の組 \((a, b, c)\) をすべて求めよ. ただし, 必要ならば \(\sqrt{2}\) が無理数であることは証明せずに用いてよい.
平面上の三角形 OAB を考え, 辺 AB の中点を M とする. \[ \overrightarrow{a} = \dfrac{\overrightarrow{\text{OA}}}{\left| \overrightarrow{\text{OA}} \right|} , \quad \overrightarrow{b} = \dfrac{\overrightarrow{\text{OB}}}{\left| \overrightarrow{\text{OB}} \right|} \] とおき, 点 P を \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{\text{OP}} = -\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{\text{OP}} \gt 0\) であるようにとる. 直線 OP に A から下ろした垂線と直線 OP の交点を Q とする.
(1) \(\overrightarrow{\text{MQ}}\) と \(\overrightarrow{b}\) は平行であることを示せ.
(2) \(\left| \overrightarrow{\text{MQ}} \right| =\dfrac{1}{2} \left( \left| \overrightarrow{\text{OA}} \right| + \left| \overrightarrow{\text{OB}} \right| \right)\) であることを示せ.
\(n=1, 2, 3, \cdots\) に対して, \(y=\log (nx)\) と \(\left( x-\dfrac{1}{n} \right)^2+y^2=1\) の交点のうち第 \(1\) 象限にある点を \(( p _ n , q _ n )\) とする.
(1) 不等式 \(1-{q _ n}^2 \leqq \dfrac{(e-1)^2}{n^2}\) を示すことにより, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} q _ n =1\) を証明せよ. ただし, \(e\) は自然対数の底である.
(2) \(S _ n = \displaystyle\int _ {\frac{1}{n}}^{p _ n} \log (nx) \, dx\) を \(p _ n\) で表せ.
(3) \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} n S _ n\) を求めよ.
\(xyz\) 空間で O \((0, 0, 0)\) , A \((3, 0, 0)\) , B \((3, 2, 0)\) , C \((0, 2, 0)\) , D \((0, 0, 4)\) , E \((3, 0, 4)\) , F \((3, 2, 4)\) , G \((0, 2, 4)\) を頂点とする直方体 OABC-DEFG を考える. 辺 AE を \(s : 1-s\) に内分する点を P , 辺 CG を \(t : 1-t\) に内分する点を Q とおく. ただし, \(0 \lt s \lt 1\) , \(0 \lt t \lt 1\) とする. D を通り, O, P, Q を含む平面に垂直な直線が線分 AC （両端を含む）と交わるような \(s , t\) のみたす条件を求めよ.
平面上の鋭角三角形 △ABC の内部（辺や頂点は含まない）に点 P をとり, A' を B, C, P を通る円の中心, B' を C, A, P を通る円の中心, C' を A, B, P を通る円の中心とする. このとき A, B, C, A', B', C' が同一円周上にあるための必要十分条件は P が △ABC の内心に一致することであることを示せ.