\(1\) が書かれたカードが \(1\) 枚, \(2\) が書かれたカードが \(1\) 枚, …, \(n\) が書かれたカードが \(1\) 枚の全部で \(n\) 枚のカードからなる組がある. この組から \(1\) 枚を抜き出し元にもどす操作を \(3\) 回行う. 抜き出したカードに書かれた数を \(a , b , c\) とするとき, 得点 \(X\) を次の規則 (i) , (ii) に従って定める.
(i) \(a , b , c\) がすべて異なるとき, \(X\) は \(a , b , c\) のうちの最大でも最小でもない値とする.
(ii) \(a , b , c\) のうちに重複しているものがあるとき, \(X\) はその重複した値とする.
\(1 \leqq k \leqq n\) をみたす \(k\) に対して, \(X = k\) となる確率を \(p _ k\) とする.
(1) \(p _ k\) を \(n\) と \(k\) で表せ.
(2) \(p _ k\) が最大となる \(k\) を \(n\) で表せ.
次の定積分を求めよ.
(1) \(\displaystyle\int _ 0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{dx}{1 +\sin x}\)
(2) \(\displaystyle\int _ {\frac{4}{3}}^{2} \dfrac{dx}{x^2 \sqrt{x-1}}\)
\(xy\) 平面上に, 直線 \(\ell : \ \dfrac{x}{a} +\dfrac{y}{b} = 1\) がある. ただし, \(a , b\) は正の定数である. 曲線 \(C : \ \dfrac{x^2}{u^2} +\dfrac{y^2}{v^2} = 1\) がつねに \(\ell\) に接しているように正の実数 \(u , v\) を変化させる. \(C\) で囲まれる部分を \(x\) 軸の周りに回転してできる立体の体積を \(V\) とする. 次の問いに答えよ.
(1) \(v^2\) を \(a , b , u\) を用いて表せ.
(2) \(V\) の最大値を, \(a , b\) を用いて表せ. また, そのときの \(C\) の方程式を \(a , b\) を用いて表せ.
\(xy\) 平面上に, \(b \lt a^2\) をみたす点 A \((a,b)\) がある. 曲線 \(C : \ y = x^2\) 上に点 P をとり, 線分 AP を \(k : k-1 \ ( k \gt 1 )\) に外分する点を Q とする. P が \(C\) 上を動くときにできる Q の軌跡を \(C'\) とする. 次の問いに答えよ.
(1) \(C'\) の方程式を求めよ.
(2) \(C\) と \(C'\) は \(2\) つの点で交わることを示し, \(C\) と \(C'\) で囲まれる部分の面積を求めよ.
\(a , b\) は実数とする. 関数 \(f(x) = x^3+3ax^2+3bx\) が極大値と極小値をもつ. 次の問いに答えよ.
(1) 極大値が正で, 極小値が負で, かつ極大値と極小値の和が負となる点 \((a,b)\) の範囲を図示せよ.
(2) 極大値が \(1\) で, 極小値が \(-1\) であるような点 \((a,b)\) をすべて求めよ.
座標平面上に, ベクトル \(\overrightarrow{u _ 1} , \overrightarrow{u _ 2} , \cdots , \overrightarrow{u _ n}\) がある. 座標平面上のベクトル \(\overrightarrow{p}\) のうち, \(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^n k \left| \overrightarrow{p} -\overrightarrow{u _ k} \right|^2\) を最小にするものを \(\overrightarrow{v}\) とし, そのときの最小値を \(m\) とする. 次の問いに答えよ.
以下, \(\overrightarrow{u _ k} = \left( \cos \dfrac{k \alpha}{n} , \sin \dfrac{k \alpha}{n} \right) \ ( k = 1, 2, \cdots , n )\) の場合を考える, ただし, \(\alpha\) は正の定数とする.
(2) \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left| \overrightarrow{v} \right|^2\) を求めよ.
(3) \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{m}{n^2}\) を求めよ.
\(xy\) 平面上に \(2\) 定点 A \((1,0)\) と O \((0,0)\) をとる. また, \(m\) を \(1\) より大きい実数とする.
(1) \(\text{AP} : \text{OP} = m : 1\) を満たす点 P \((x,y)\) の軌跡を求めよ.
(2) 点 A を通る直線で, (1) で求めた軌跡との共有点が \(1\) 個のものを求めよ. また, その共有点の座標も求めよ.
関数 \(f(x) = b +\dfrac{1}{b} -e^{ax} -e^{-ax}\) について, 以下の問いに答えよ. ただし, \(a \gt 0\) , \(b \gt 1\) とする.
(1) \(f(x) \geqq 0\) を満たす \(x\) の範囲を求めよ.
(2) 曲線 \(y = \sqrt{f(x)}\) と \(x\) 軸で囲まれた図形を \(x\) 軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 \(V\) を求めよ.
(3) \(a = b \log b\) のとき, (2) で求めた体積 \(V\) を \(V(b)\) で表す. このとき, \(\displaystyle\lim _ {b \rightarrow \infty} V(b) = 2 \pi\) となることを示せ.