(1) \(\displaystyle\int _ 0^\pi x^2 \cos^2 x \, dx\) を求めよ.
(2) 定数 \(a\) に対して, \[ f(x) = ax \sin x +x +\dfrac{\pi}{2} \] とおく. このとき, 不等式 \[ \displaystyle\int _ 0^\pi \left\{ f'(x) \right\}^2 \, dx \geqq f \left( \dfrac{\pi}{2} \right) \] を満たす \(a\) の範囲を求めよ. ただし, \(f'(x)\) は \(f(x)\) の導関数とする.
(1) 一般項 \(a _ n\) が \(an^3 +bn^2 +cn\) で表される数列 \(\{ a _ n \}\) において, \[ n^2 = a _ {n+1} -a _ n \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] が成り立つように, 定数 \(a , b , c\) を定めよ.
(2) (1) の結果を用いて, \(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^n k^2 = \dfrac{1}{6} n(n+1)(2n+1)\) となることを示せ.
(3) \(1, 2, 3, \cdots , n\) の相異なる \(2\) 数の積のすべての和を \(S(n)\) とする. たとえば, \(S(3) = 1 \times 2 +1 \times 3 +2 \times 3 = 11\) である. \(S(n)\) を \(n\) の \(4\) 次式で表せ.
\(a \neq 0\) とする. \(A = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)\) , \(B = \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)\) に対して, \(2\) 次の正方行列 \(P\) が \[ PA = A+B , \ PB = A-B \] を満たしている.
(1) \(a\) と \(b\) を用いて \(P\) を表し, \(P\) が逆行列 \(P^{-1}\) をもつことを示せ.
(2) \(\left( \begin{array}{c} s \\ t \end{array} \right) = P^{-1} B\) とおく. \(xy\) 平面において, 点 \((a,b)\) が放物線 \(x = y^2+2\) 上を動くとき, 点 \((s,t)\) の軌跡を求めよ. ただし, \(|y| \leqq 1\) とする.
\(xy\) 平面上で, \(2\) 次曲線 \(C : \ x^2+ay^2+by = 0\) が直線 \(L : \ y = 2x-1\) に点 P で接している. ただし, \(a \neq -\dfrac{1}{4}\) とする.
(1) \(a\) と \(b\) の関係式を求めよ.
(2) \(C\) が楕円, 放物線, 双曲線となるそれぞれの場合に, \(b\) の値の範囲を求めよ.
(3) \(C\) が楕円とする場合の接点Pの存在範囲を求め, \(xy\) 平面上に図示せよ.
複素数 \(\alpha , \beta \ ( \alpha , \beta \neq 0 )\) に対して, \(p _ 1 = 3\) を初項とする数列 \(\{ p _ n \}\) を \[ p _ n = 1 +\alpha^{n-1} +\beta^{n-1} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] で定める. 以下の問に答えよ.
(1) \(p _ 2 \neq 0\) , \(p _ 4 \neq 0\) のどちらかが成立することを示せ.
(2) 数列 \(\{ p _ n \}\) がさらに次の条件をみたすとする.
(＊) 隣接する \(2\) 項の積はすべて \(0\) となる. すなわち \[ p _ n p _ {n+1} = 0 \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \]
定数 \(c\) に対して行列 \(A\) を \[ A = \left( \begin{array}{cc} 1 & c \\ 4 & -1 \end{array} \right) \] で定め, 直線 \(y = x+1\) 上の動点 P \(( t-1 , t )\) を \(A\) によって移動した点を Q とする. すなわち, \[ A \left( \begin{array}{c} t-1 \\ t \end{array} \right) \] に対応する点を Q とする. 定点 R とすべての \(t\) の値に対して, △PQR は P を直角の頂点とする直角三角形になるという. 以下の問に答えよ.
(1) 定点 R の座標および定数 \(c\) の値を求めよ.
(2) 三角形 PQR の外接円の面積の最小値と, そのときの \(t\) の値を求めよ.
曲線 \(y = e^{-x}\) と \(y = e^{-x} \left| \cos x \right|\) で囲まれた図形のうち, \((n-1) \pi \leqq x \leqq n \pi\) をみたす部分の面積を \(a _ n\) とする（ \(n = 1, 2, 3, \cdots\) ）. 以下の問に答えよ.
(1) \(\displaystyle\int e^{-x} \cos x \, dx = e^{-x} \left( p \sin x +q \cos x \right) +C\) をみたす定数 \(p , q\) を求めよ. ただし, \(C\) は積分定数である.
(2) \(a _ 1\) の値を求めよ.
(3) \(a _ n\) の値を求めよ.
(4) \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( a _ 1 +a _ 2 + \cdots + a _ n \right)\) を求めよ.
\(n\) を正の整数とするとき, 以下の問に答えよ.
(1) \(k\) を正の整数とする. 関数 \((1-x)^n x^k\) の \(0 \leqq x \leqq 1\) における最大値を \(a _ n\) とする. \(a _ n\) および \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} a _ n\) を求めよ.
(2) \(f(x) , g(x)\) を \(0 \leqq x \leqq 1\) において定められた連続関数とする. 関数 \((1-x)^n f(x)\) , \((1-x)^n g(x)\) , \((1-x)^n \left\{ f(x) +g(x) \right\}\) の \(0 \leqq x \leqq 1\) における最大値をそれぞれ \(b _ n , c _ n , d _ n\) とする. このとき, \(0 , b _ n +c _ n , d _ n\) の大小を \[ \square \leqq \square \leqq \square \] の形式で答え, その理由を述べよ.
(3) \(p , q , r \geqq 0\) を定数, \(f(x) = px^2+qx+r\) とし, 関数 \((1-x)^n f(x)\) の \(0\leq x \leqq 1\) における最大値を \(e _ n\) とする. \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} e _ n\) を求めよ.