以下の各問にそれぞれ答えよ.

1. 問1.　定積分 \(\displaystyle\int _ 0^2 \dfrac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}} \, dx\) を求めよ.

2. 問2.　\(1\) 歩で \(1\) 段または \(2\) 段のいずれかで階段を昇るとき, \(1\) 歩で \(2\) 段昇ることは連続しないものとする. \(15\) 段の階段を昇る昇り方は何通りあるか.

\(x , y\) を相異なる正の実数とする. 数列 \(\{ a _ n \}\) を \[ a _ 1 = 0 , \ a _ {n+1} = x a _ n +y^{n+1} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] によって定めるとき, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} a _ n\) が有限の値に収束するような座標平面上の点 \(( x , y )\) の範囲を図示せよ.

\(p\) を \(3\) 以上の素数とする. \(4\) 個の整数 \(a , b , c , d\) が次の \(3\) 条件 \[ a+b+c+d = 0 , \ ad-bc+p = 0 , \ a \geqq b \geqq c \geqq d \] を満たすとき, \(a , b , c , d\) を \(p\) を用いて表せ.

点 O を中心とする円に内接する △ABC の \(3\) 辺 AB, BC, CA をそれぞれ \(2 : 3\) に内分する点を P, Q, R とする. △PQR の外心が点 O と一致するとき, △ABC はどのような三角形か.

\(A\) を \(2\) 次の正方行列とする. 列ベクトル \(\overrightarrow{x _ 0}\) に対し, 列ベクトル \(\overrightarrow{x _ 1} , \overrightarrow{x _ 2} , \cdots\) を \[ \overrightarrow{x _ {n+1}} = A \overrightarrow{x _ n} \quad ( n = 0, 1, 2, \cdots ) \] によって定める. ある零ベクトルではない \(\overrightarrow{x _ 0}\) について, \(3\) 以上の自然数 \(m\) で初めて \(\overrightarrow{x _ m}\) が \(\overrightarrow{x _ 0}\) と一致するとき, 行列 \(A^m\) は単位行列であることを示せ.

すべての実数で定義され何回でも微分できる関数 \(f(x)\) が \(f(0)=0\) , \(f'(0)=1\) を満たし, さらに任意の実数 \(a , b\) に対して \(1+ f(a) f(b) \neq 0\) であって \[ f( a+b ) = \dfrac{f(a) + f(b)}{1+ f(a) f(b)} \] を満たしている.

1. (1)　任意の実数 \(a\) に対して, \(-1 \lt f(a) \lt 1\) であることを証明せよ.

2. (2)　\(y = f(x)\) のグラフは \(x \gt 0\) で上に凸であることを証明せよ.