\(0 \leqq \alpha \leqq \beta\) をみたす実数 \(\alpha , \beta\) と, \(2\) 次式 \(f(x) = x^2 -( \alpha +\beta )x + \alpha \beta\) について, \[ \displaystyle\int _ {-1}^1 f(x) \, dx = 1 \] が成立しているとする. このとき定積分 \[ S = \displaystyle\int _ {0}^{\alpha} f(x) \, dx \] を \(\alpha\) の式で表し, \(S\) がとりうる値の最大値を求めよ.
白黒 \(2\) 種類のカードがたくさんある. そのうち \(k\) 枚のカードを手もとにもっているとき, 次の操作 (A) を考える.
以下の問 (1) , (2) に答えよ.
(1) 最初に白 \(2\) 枚, 黒 \(2\) 枚, 合計 \(4\) 枚のカードをもっているとき, 操作 (A) を \(n\) 回繰り返した後に初めて, \(4\) 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ.
(2) 最初に白 \(3\) 枚, 黒 \(3\) 枚, 合計 \(6\) 枚のカードをもっているとき, 操作 (A) を \(n\) 回繰り返した後に初めて, \(6\) 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ.
座標平面上の \(3\) 点 A \((1,0)\) , B \((-1,0)\) , C \((0,-1)\) に対し, \[ \angle \text{APC} = \angle \text{BPC} \] をみたす点 P の軌跡を求めよ. ただし \(\text{P} \neq \text{A, B, C}\) とする.
\(p\) を自然数とする. 次の関係式で定められる数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \}\) を考える. \[ \left\{ \begin{array}{ll} a _ 1 = p , \ b _ 1 = p+1 & \\ a _ {n+1} = a _ n + p b _ n & ( n = 1, 2, 3 , \cdots ) \\ b _ {n+1} = p a _ n + (p+1) b _ n & ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \end{array} \right. \]
(1) \(n = 1, 2, 3, \cdots\) に対し, 次の \(2\) つの数がともに \(p^3\) で割り切れることを示せ. \[ a _ n -\dfrac{n(n-1)}{2}p^2 -np , \ b _ n -n(n-1)p^2 -np -1 \]
(2) \(p\) を \(3\) 以上の奇数とする. このとき, \(a _ p\) は \(p^2\) で割り切れるが, \(p^3\) では割り切れないことを示せ.
多項式 \(f(x)\) について, 次の条件 (i) , (ii) , (iii) を考える.
(i) \(x^4 f \left( \dfrac{1}{x} \right) = f(x)\)
(ii) \(f(1-x) = f(x)\)
(iii) \(f(1) = 1\)
このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) 条件 (i) をみたす多項式 \(f(x)\) の次数は \(4\) 以下であることを示せ.
(2) 条件 (i) , (ii) , (iii) をすべてみたす多項式 \(f(x)\) を求めよ.
\(n\) を \(2\) 以上の自然数とする. 平面上の \(\triangle \text{OA} {} _ 1 \text{A} {} _ 2\) は \(\angle \text{OA} {} _ 2 \text{A} {} _ 1 = 90^{\circ}\) , \(\text{OA} {} _ 1 = 1\) , \(\text{A} {} _ 1 \text{A} {} _ 2 = \dfrac{1}{\sqrt{n}}\) をみたすとする. \(\text{A} {} _ 2\) から \(\text{OA} {} _ 1\) へ垂線をおろし, 交点を \(\text{A} {} _ 3\) とする. \(\text{A} {} _ 3\) から \(\text{OA} {} _ 2\) へ垂線をおろし, 交点を \(\text{A} {} _ 4\) とする. 以下同様に, \(k=4, 5, \cdots\) について, \(\text{A} {} _ k\) から \(\text{OA} {} _ {k-1}\) へ垂線をおろし, 交点を \(\text{A} {} _ {k+1}\) として, 順番に \(\text{A} {} _ 5 , \text{A} {} _ 6 , \cdots\) を定める. \(\overrightarrow{h _ k} = \overrightarrow{\text{A} {} _ k \text{A} {} _ {k+1}}\) とおくとき, 以下の問いに答えよ.
(1) \(k=1, 2, \cdots\) のとき, ベクトル \(\overrightarrow{h _ k}\) と \(\overrightarrow{h _ {k+1}}\) の内積 \(\overrightarrow{h _ k} \cdot \overrightarrow{h _ {k+1}}\) を \(n\) と \(k\) で表せ.
(2) \(S _ n = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} \overrightarrow{h _ k} \cdot \overrightarrow{h _ {k+1}}\) とおくとき, 極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} S _ n\) を求めよ. ここで, 自然対数の底 \(e\) について, \(e = \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( 1 +\dfrac{1}{n} \right)^n\) であることを用いてもよい.
\(\theta\) を \(0 \lt \theta \lt \dfrac{2 \pi}{3}\) の範囲にある実数とし, 空間の \(4\) 点 O , A , B , C が, \(\text{OA} = \text{OB} = \text{OC} = 1\) かつ \(\angle \text{AOB} = \angle \text{BOC} = \angle \text{COA} = \theta\) をみたすとする. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) △ABC の重心を G とするとき, AG と OG をそれぞれ \(\theta\) で表せ.
(2) \(\theta\) を動かしたとき, O , A , B , C を頂点とする四面体の体積の最大値を求めよ.
点 P が次のルール (i) , (ii) に従って数直線上を移動するものとする.
(i) \(1, 2, 3, 4, 5, 6\) の目が同じ割合で出るサイコロを振り, 出た目の数を \(k\) とする. P の座標 \(a\) について, \(a \gt 0\) ならば座標 \(a-k\) の点へ移動し, \(a \lt 0\) ならば座標 \(a+k\) の点へ移動する.
(ii) 原点に移動したら終了し, そうでなければ (i) を繰り返す.
このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) P の座標が \(1, 2, \cdots , 6\) のいずれかであるとき, ちょうど \(3\) 回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ.
(2) P の座標が \(1, 2, \cdots , 6\) のいずれかであるとき, ちょうど \(m\) 回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ.
(3) P の座標が \(8\) であるとき, ちょうど \(n\) 回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ.