三角形 ABC で辺 AC を \(s : 1-s\) に内分する点を P , 辺 BC を \(t : 1-t\) に内分する点を Q , 線分 AQ と線分 BP の交点を R とする. このとき, \[ \text{△APR の面積} = 2 \times ( \text{△BQR の面積} ) \] が成り立っているとする.
(1) \(s\) を \(t\) を用いて表せ.
(2) 極限 \(\displaystyle\lim _ {t \rightarrow +0} \dfrac{s}{t}\) を求めよ. ただし, \(t\) が正の範囲で \(0\) に限りなく近づくとき, \(t \rightarrow +0\) と表す.
曲線 \(C : \ y = \log x\) 上の点 P \(( a, \log a )\) , 点 Q \(( b, \log b )\) （ \(1 \lt a \lt b\) ）をとる. 点 P , Q から \(x\) 軸に下ろした \(2\) 本の垂線と \(x\) 軸および曲線 \(C\) で囲まれた部分の面積を \(S\) とする. 点 P , Q から \(y\) 軸に下ろした \(2\) 本の垂線と \(y\) 軸および曲線 \(C\) で囲まれた部分の面積を \(T\) とする. このとき, \(S = T\) となるように \(b\) がとれる \(a\) の値を求めよ.
次の問に答えよ.
(1) \(3x+2y \leqq 2008\) を満たす \(0\) 以上の整数の組 \((x,y)\) の個数を求めよ.
(2) \(\dfrac{x}{2} +\dfrac{y}{3} +\dfrac{z}{6} \leqq 10\) を満たす \(0\) 以上の整数の組 \((x,y,z)\) の個数を求めよ.
袋 A の中に赤玉と白玉がそれぞれ \(4\) つ入っていることと, 袋 B の中に赤玉 \(3\) つと白玉 \(2\) つが入っていることがわかっている.
(1) 袋 B から \(2\) つの玉を取り出すとき, 取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ.
(2) 袋 A から \(3\) つの玉を取り出し, そのあと袋 B から \(2\) つの玉を取り出す. その \(5\) つの玉のうち赤玉が \(3\) つである確率を求めよ.
(3) 袋 A から \(3\) つの玉を取り出したあとで, \(2\) つの玉を袋 A から取り出すかあるいは \(2\) つの玉を袋 B から取り出すかのどちらかを選択できるとする. できるだけ多くの赤玉を取り出そうと選択したとき, 最終的に取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ.
座標空間内に \(5\) 点 \[ \text{P} \ (0,0,h) , \quad \text{Q} \ (t,0,0) , \quad \text{R} \ (0,t,0) , \quad \text{S} \ (-t,0,0) , \quad \text{T} \ (0,-t,0) \] をとる. ここで \(t , h\) は \(0 \lt t \lt 1 , \ h \gt 0\) を満たす実数である. また点 A \((1,1,0)\) と点 Q を結ぶ線分の長さは線分 PQ の長さと等しいとする. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) 四角錘 PQRST の表面積を \(t\) を用いて表せ.
(2) \(h\) を \(t\) を用いて表せ.
(3) \(t\) が \(0 \lt t \lt 1\) の範囲で変化するとき, 四角錘 PQRST の体積の最大値を求めよ.
以下の各問いに答えよ. ただし \(t\) は \(0 \lt t \lt \pi\) を満たす実数とする.
(1) 次の等式を証明せよ. \[ \left( \cos \dfrac{t}{2} \right) \left( \cos \dfrac{t}{4} \right) \left( \cos \dfrac{t}{8} \right) = \dfrac{\sin t}{8 \sin \dfrac{t}{8}} \]
(2) 次のように定義される数列 \(\{ a _ n \}\) の極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} a _ n\) を \(t\) を用いて表せ. \[ a _ 1 = \cos \dfrac{t}{2} , \ a _ n = a _ {n-1} \left( \cos \dfrac{t}{2^n} \right) \quad ( n =2, 3, \cdots ) \]
(3) 数列 \(\{ b _ n \} , \{ c _ n \}\) を次のように定義する. \[\begin{align} b _ 1 & = \sqrt{\dfrac{1}{2}} , \ b _ n = \sqrt{\dfrac{1 +b _ {n-1}}{2}} \quad ( n = 2, 3, \cdots ) \\ c _ 1 & = \sqrt{\dfrac{1}{2}} , \ c _ n = c _ {n-1} b _ n \quad ( n = 2, 3, \cdots ) \end{align}\] このとき \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} c _ n\) を求めよ.
微分可能な関数 \(f(x) , g(x)\) が次の \(4\) 条件を満たしている.
(a) 任意の正の実数 \(x\) について, \(f(x) \gt 0 , \ g(x) \gt 0\)
(b) 任意の実数 \(x\) について, \(f(-x) =f(x) , \ g(-x) = -g(x)\)
(c) 任意の実数 \(x\) , \(y\) について, \(f(x+y) = f(x)f(y) +g(x)g(y)\)
(d) \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow 0} \dfrac{g(x)}{x} = 2\)
このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(f(0)\) および \(g(0)\) を求めよ.
(2) \(\left\{ f(x) \right\}^2 -\left\{ g(x) \right\}^2\) を求めよ.
(3) \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow 0} \dfrac{1-f(x)}{x^2}\) を求めよ.
(4) \(f(x)\) の導関数を \(g(x)\) を用いて表せ.
(5) 曲線 \(y = f(x)g(x)\) , 直線 \(x = a \ ( a \gt 0 )\) および \(x\) 軸で囲まれる図形の面積が \(1\) のとき, \(f(a)\) の値を求めよ.
\(2\) 次の正方行列 \(A _ 0 , A _ 1 , A _ 2 , A _ 3 , \cdots\) を \[ A _ 0 = O , \quad A _ n = B +A _ {n-1} C \quad ( n =1, 2, 3, \cdots ) \] で定める. ただし, \(O\) は \(2\) 次の零行列, \(B\) と \(C\) は \(2\) 次の正方行列とする.
(1) \(A _ n ( E-C )\) を \(B\) と \(C\) を用いて表せ. ここで \(E\) は \(2\) 次の単位行列とする.
(2) \(B\) と \(C\) を \[ B = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) , \quad C = \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{array} \right) \] とするとき, \(A _ {3n}\) を求めよ.