座標平面において原点を中心とする半径 \(2\) の円を \(C _ 1\) とし, 点 \((1,0)\) を中心とする半径 \(1\) の円を \(C _ 2\) とする. また, 点 \((a,b)\) を中心とする半径 \(t\) の円が \(C _ 3\) が, \(C _ 1\) に内接し, かつ \(C _ 2\) に外接すると仮定する. ただし, \(b\) は正の実数とする.
(1) \(a , b\) を \(t\) を用いて表せ. また, \(t\) がとり得る値の範囲を求めよ.
(2) \(t\) が (1) で求めた範囲を動くとき, \(b\) の最大値を求めよ.
自然数 \(m \geqq 2\) に対し, \(m-1\) 個の二項係数 \[ {} _ {m} \text{C} {} _ {1} , {} _ {m} \text{C} {} _ {2} , \cdots , {} _ {m} \text{C} {} _ {m-1} \] を考え, これらのすべての最大公約数を \(d _ m\) とする. すなわち \(d _ m\) はこれらすべてを割り切る最大の自然数である.
(1) \(m\) が素数ならば, \(d _ m=m\) であることを示せ.
(2) すべての自然数 \(k\) に対し, \(k^m-k\) が \(d _ m\) で割り切れることを, \(k\) に関する数学的帰納法によって示せ.
スイッチを \(1\) 回押すごとに, 赤, 青, 黄, 白のいずれかの色の玉が \(1\) 個, 等確率 \(\dfrac{1}{4}\) で出てくる機械がある. \(2\) つの箱 L と R を用意する. 次の \(3\) 種類の操作を考える.
(A) \(1\) 回スイッチを押し, 出てきた玉を L に入れる.
(B) \(1\) 回スイッチを押し, 出てきた玉を R に入れる.
(C) \(1\) 回スイッチを押し, 出てきた玉と同じ色の玉が, L になければその玉を L に入れ, L にあればその玉を R に入れる.
(1) L と R は空であるとする. 操作 (A) を \(5\) 回おこない, さらに操作 (B) を \(5\) 回おこなう. このとき L にも R にも \(4\) 色すべての玉が入っている確率 \(\text{P}{} _ 1\) を求めよ.
(2) L と R は空であるとする. 操作 (C) を \(5\) 回おこなう. このとき L に \(4\) 色すべての玉が入っている確率 \(\text{P}{} _ 2\) を求めよ.
(3) L と R は空であるとする. 操作 (C) を \(10\) 回おこなう. このとき L にも R にも \(4\) 色すべての玉が入っている確率を \(\text{P}{} _ 3\) とする. \(\dfrac{\text{P}{} _ 3}{\text{P}{} _ 1}\) を求めよ.
\(2\) 次以下の整式 \(f(x) = ax^2+bx+c\) に対し \[ S = \displaystyle\int _ 0^2 \left| f'(x) \right| \, dx \] を考える.
(1) \(f(0) = 0\) , \(f(2) = 2\) のとき \(S\) を \(a\) の関数として表せ.
(2) \(f(0) = 0\) , \(f(2) = 2\) をみたしながら \(f\) が変化するとき, \(S\) の最小値を求めよ.
\(a, b, c\) を実数とする. 以下の問いに答えよ.
(1) \(a+b=c\) であるとき, \(a^3+b^3+3abc = c^3\) が成り立つことを示せ.
(2) \(a+b \geqq c\) であるとき, \(a^3+b^3+3abc \geqq c^3\) が成り立つことを示せ.
\(L\) を \(2\) 以上の自然数, \(a\) を \(0 \lt a \lt 1\) を満たす実数とする. 縦 \(1\) cm , 横 \((L+1)\) cm の長方形の紙を用いて, 次のように長方形 \(A, B\) を作る.
長方形 \(A\) の作り方. \(L\) 枚の紙を横に並べて, 順に \(1\) 辺 \(1\) cm の正方形をのりしろとして（隣り合う紙が横 \(1\) cm 重なるように）はり合わせ, 縦 \(1\) cm の横長の長方形を作る.
長方形 \(B\) の作り方. \(L\) 枚の紙を縦に並べて, 隣り合う紙が縦 \(a\) cm 重なるようにはり合わせて, 横 \((L+1)\) cm の長方形を作る.
長方形 \(A, B\) の面積をそれぞれ \(S _ 1 \ \text{cm}^2\) および \(S _ 2 \ \text{cm}^2\) とおくとき, 以下の問いに答えよ.
(1) \(S _ 1\) と \(S _ 2\) を求めよ.
(2) \(L=2\) のとき, \(S _ 1 -1 \lt S _ 2\) となる \(a\) の範囲を求めよ.
(3) \(S _ 1 -1 \lt S _ 2\) となる \(2\) 以上の自然数 \(L\) があるような \(a\) の範囲を求めよ.
袋の中に青玉が \(7\) 個, 赤玉が \(3\) 個入っている. 袋から \(1\) 回につき \(1\) 個ずつ玉を取り出す. 一度取り出した玉は袋に戻さないとして, 以下の問いに答えよ.
(1) \(4\) 回目に初めて赤玉が取り出される確率を求めよ.
(2) \(8\) 回目が終わった時点で赤玉がすべて取り出されている確率を求めよ.
(3) 赤玉がちょうど \(7\) 回目ですべて取り出される確率を求めよ.
(4) \(4\) 回目が終わった時点で取り出されている赤玉の個数の期待値を求めよ.
\(a\) を \(0 \leqq a \leqq \dfrac{\pi}{2}\) を満たす実数とする. 以下の問いに答えよ.
(1) 実数 \(\theta\) に対して \(\sin \theta\) と \(\sin ( \theta -2a )\) のうち小さくないほうを \(f( \theta )\) とおく. すなわち, \[\begin{align} \sin \theta \geqq \sin ( \theta -2a ) \text{のとき} , & \quad f( \theta ) = \sin \theta \\ \sin \theta \lt \sin ( \theta -2a ) \text{のとき} , & \quad f( \theta ) = \sin ( \theta -2a ) \end{align}\] となる関数 \(f( \theta )\) を考える. このとき定積分 \[ I = \displaystyle\int _ 0^{\pi} f( \theta ) \, d \theta \] を求めよ.
(2) \(a\) を \(0 \leqq a \leqq \dfrac{\pi}{2}\) の範囲で動かすとき, (1) の \(I\) の最大値を求めよ.