\(f(x)\) を整式で表される関数とし, \(g(x) = \displaystyle\int _ 0^x e^t f(t) \, dt\) とおく. 任意の実数 \(x\) について \[ x \left( f(x) -1 \right) = 2 \displaystyle\int _ 0^x e^{-t} g(t) \, dt \] が成り立つとする.
(1) \(x f''(x) +(x+2) f'(x) -f(x) = 1\) が成り立つことを示せ.
(2) \(f(x)\) は定数または \(1\) 次式であることを示せ.
(3) \(f(x)\) および \(g(x)\) を求めよ.
自然数の数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \}\) は \[ \left( 5+\sqrt{2} \right)^n = a _ n +b _ n \sqrt{2} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] を満たすものとする.
(1) \(\sqrt{2}\) は無理数であることを示せ.
(2) \(a _ {n+1} , b _ {n+1}\) を \(a _ n , b _ n\) を用いて表せ.
(3) すべての自然数 \(n\) に対して, \(a _ {n+1} +pb _ {n+1} =q \left( a _ n +pb _ n \right)\) が成り立つような定数 \(p , q\) を \(2\) 組求めよ.
(4) \(a _ n , b _ n\) を \(n\) を用いて表せ.
実数 \(a\) に対し, 行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a-1 & a-2 \\ a-2 & 1-a \end{array} \right)\) を考える. \(n\) を自然数とし, 座標平面上において, 行列 \(A^n\) により点 \(( 1, 0 )\) が点 \(\text{P} {} _ n\) に移り, 点 \(( 0, 1 )\) が点 \(\text{Q} {} _ n\) に移るものとする. \(2\) 点 \(\text{P} {} _ n , \text{Q} {} _ n\) の間の距離を \(\text{P} {} _ n \text{Q} {} _ n\) で表す.
(1) \(\text{P} {} _ 1 \text{Q} {} _ 1\) を求めよ.
(2) \(A^n\) を \(a\) と \(n\) を用いて表せ.
(3) \(n\) が固定され, \(a\) が実数全体を動くとき, \(\text{P} {} _ n \text{Q} {} _ n\) の最小値を求めよ.
点 \(P \, ( x, y )\) が双曲線 \(\dfrac{x^2}{2} -y^2 = 1\) 上を動くとき, 点 \(P \, ( x, y )\) と点 \(A \, ( a, 0 )\) との距離の最小値を \(f(a)\) とする.
(1) \(f(a)\) を \(a\) で表せ.
(2) \(f(a)\) を \(a\) の関数とみなすとき, \(ab\) 平面上に曲線 \(b = f(a)\) の概形をかけ.
(1) 任意の角 \(\theta\) に対して, \(-2 \leqq x \cos \theta +y \sin \theta \leqq y+1\) が成立するような点 \((x, y)\) の全体からなる領域を \(xy\) 平面上に図示し, その面積を求めよ.
(2) 任意の角 \(\alpha , \beta\) に対して, \(-1 \leqq x^2 \cos \alpha +y \sin \beta \leqq 1\) が成立するような点 \((x, y)\) の全体からなる領域を \(xy\) 平面上に図示し, その面積を求めよ.
\(p , q\) を実数とする. 放物線 \(y = x^2-2px+q\) が, 中心 \((p, 2p)\) で半径 \(1\) の円と中心 \((p, p)\) で半径 \(1\) の円の両方と共有点をもつ. この放物線の頂点が存在しうる領域を \(xy\) 平面上に図示せよ.
一辺の長さが \(2\) の正三角形 ABC を平面上におく. △ABC を \(1\) つの辺に関して \(180^{\circ}\) 折り返すという操作を繰り返し行う. 辺 BC に関する折り返しを \(T _ A\) , 辺 CA に関する折り返しを \(T _ B\) , 辺 AB に関する折り返しを \(T _ C\) とする. △ABC は, 最初 \(3\) 点 A , B , C がそれぞれ平面上の \(3\) 点 O , B' , C' の上に置かれているとする.
(1) \(T _ A , T _ C , T _ B , T _ C , T _ A\) の順に折り返し操作を施したときの頂点 A の移り先を P とする. \(T _ A , T _ C , T _ B , T _ A , T _ C , T _ B , T _ A\) の順に折り返し操作を施したときの頂点 A の移り先を Q とする. \(\theta = \angle \text{POQ}\) とするとき, \(\cos \theta\) の値を求めよ.
(2) 整数 \(k , l\) に対して, \(\overrightarrow{\text{OR}} = 3k \overrightarrow{\text{OB'}} +3l \overrightarrow{\text{OC'}}\) により定められる点 R は, \(T _ A , T _ B , T _ C\) の折り返し操作を組み合わせることにより, 点 A の移り先になることを示せ.