「2010年」タグアーカイブ

東大文系2010：第1問

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O を原点とする座標平面上に点 A \(( -3 , 0 )\) をとり, \(0^{\circ} \lt \theta \lt 120^{\circ}\) の範囲にある \(\theta\) に対して, 次の条件 (i) , (ii) をみたす \(2\) 点 B , C を考える.

  1. (i)　B は \(y \gt 0\) の部分にあり, \(\text{OB} = 2\) かつ \(\angle \text{AOB} = 180^{\circ} -\theta\) である.

  2. (ii)　C は \(y \lt 0\) の部分にあり, \(\text{OC} = 1\) かつ \(\angle \text{BOC} = 120^{\circ}\) である.

以下の問 (1) , (2) に答えよ.

  1. (1)　△OAB と △OAC の面積が等しいとき, \(\theta\) の値を求めよ.

  2. (2)　\(\theta\) を \(0^{\circ} \lt \theta \lt 120^{\circ}\) の範囲で動かすとき, △OAB と △OAC の面積の和の最大値と, そのときの \(\sin \theta\) の値を求めよ.

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東大文系2010：第3問

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\(2\) つの箱 L と R , \(30\) 個のボール, コイン投げで表と裏が等確率 \(\dfrac{1}{2}\) で出るコインを \(1\) 枚用意する. \(x\) を \(0\) 以上 \(30\) 以下の整数とする. L に \(x\) , R に \(30-x\) 個のボールを入れ, 次の操作 (＃) を繰り返す.

  1. (＃)　箱 L に入っているボールの個数を \(z\) とする. コインを投げ, 表が出れば箱 R から箱 L に, 裏が出れば箱 L から箱 R に, \(K(z)\) 個のボールを移す. ただし, \(0 \leqq z \leqq 15\) のとき \(K(z) = z\) , \(16 \leqq z \leqq 30\) のとき \(K(z) = 30-z\) とする.

\(m\) 回の操作の後, 箱 L のボールの個数が \(30\) である確率を \(P _ m(x)\) とする. たとえば \(P _ 1(15) = P _ 2(15) = \dfrac{1}{2}\) となる. 以下の問いに答えよ.

  1. (1)　\(m \geqq 2\) のとき, \(x\) に対して \(y\) を選び, \(P _ m(x)\) を \(P _ {m-1}(y)\) で表せ.

  2. (2)　\(n\) を自然数とするとき, \(P _ {2n}(10)\) を求めよ.

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東大文系2010：第4問

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\(C\) を半径 \(1\) の円周とし, A を \(C\) 上の \(1\) 点とする. \(3\) 点 P , Q , R が A を時刻 \(t = 0\) に出発し, \(C\) 上を各々一定の速さで, P , Q は反時計回りに, R は時計回りに, 時刻 \(t = 2\pi\) まで動く. P , Q , R の速さは, それぞれ \(m , 1 , 2\) であるとする.（したがって, Qは \(C\) をちょうど一周する. ）ただし, \(m\) は \(1 \leqq m \leqq 10\) をみたす整数である. \(\triangle \text{PQR}\) が PR を斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さ \(m\) と時刻 \(t\) の組をすべて求めよ.

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東北大理系2010：第2問

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\(a , b\) を正の実数とする. 曲線 \(C : \ y = x^3-a^2x+a^3\) と点 P \((b , 0)\) を考える. 以下の問いに答えよ.

  1. (1)　点 P から曲線 \(C\) に接線がちょうど \(3\) 本引けるような点 \((a,b)\) の存在する領域を図示せよ.

  2. (2)　点 P から曲線 \(C\) に接線がちょうど \(2\) 本引けるとする. \(2\) つの接点を A , B としたとき, \(\angle \text{APB}\) が \(90^{\circ}\) より小さくなるための \(a\) と \(b\) の条件を求めよ.

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東北大理系2010：第3問

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\(1, 2, 3, 4\) の数字が \(1\) つずつ書かれた \(4\) 枚のカードを用いて, 次の手順で \(5\) 桁の整数をつくる. まず \(1\) 枚を取り出して現れた数字を \(1\) の位とする. 取り出した \(1\) 枚を元に戻し, \(4\) 枚のカードをよく混ぜて, 再び \(1\) 枚を取り出して現れた数字を \(10\) の位とする. このような操作を \(5\) 回繰り返して, \(5\) 桁の整数をつくる. 得られた整数を \(X\) とするとき, 以下の問いに答えよ.

  1. (1)　\(X\) に数字 \(1\) がちょうど \(2\) 回現れる確率を求めよ.

  2. (2)　\(X\) に数字 \(1\) と数字 \(2\) がちょうど \(1\) 回ずつ現れる確率を求めよ.

  3. (3)　\(X\) にちょうど \(2\) 回現れる数字が \(1\) 種類以上ある確率を求めよ.

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東北大理系2010：第4問

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四面体 ABCD において, 辺 AB の中点を M , 辺 CD の中点を N とする. 以下の問いに答えよ.

  1. (1)　等式 \[ \overrightarrow{\text{PA}} +\overrightarrow{\text{PB}} = \overrightarrow{\text{PC}} +\overrightarrow{\text{PD}} \] を満たす点 P は存在するか. 証明をつけて答えよ.

  2. (2)　点 Q が等式 \[ \left| \overrightarrow{\text{QA}} +\overrightarrow{\text{QB}} \right| = \left| \overrightarrow{\text{QC}} +\overrightarrow{\text{QD}} \right| \] を満たしながら動くとき, 点 Q が描く図形を求めよ.

  3. (3)　点 R が等式 \[ \left| \overrightarrow{\text{RA}} \right|^2 + \left| \overrightarrow{\text{RB}} \right|^2 = \left| \overrightarrow{\text{RC}} \right|^2 + \left| \overrightarrow{\text{RD}} \right|^2 \] を満たしながら動くとき, 内積 \(\overrightarrow{\text{MN}} \cdot \overrightarrow{\text{MR}}\) は R のとり方によらず一定であることを示せ.

  4. (4)　(2) の点 Q が描く図形と (3) の点 R が描く図形が一致するための必要十分条件は \(\left| \overrightarrow{\text{AB}} \right| = \left| \overrightarrow{\text{CD}} \right|\) であることを示せ.

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