\(0 \lt t \lt 3\) のとき, 連立方程式 \[ \left\{ \begin{array}{l} 0 \leqq y \leqq \sin x \\ 0 \leqq x \leqq t-y \end{array} \right. \] の表す領域を \(x\) 軸のまわりに回転して得られる立体の体積を \(V(t)\) とする. \(\dfrac{d}{dt} V(t) = \dfrac{\pi}{4}\) となる \(t\) と, そのときの \(V(t)\) の値を求めよ.
\(xy\) 平面において, 原点を中心とし P \((1,0)\) を頂点の \(1\) つとする正 \(6\) 角形を \(X\) とする. \(A\) を \(2\) 次の正方行列とし, \(X\) の各頂点 \((x,y)\) に対して, 行列 \(A\) の表す移動 \[ \left( \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \] で得られる点 \((x' , y')\) は \(X\) の辺上の点（頂点を含む）であるとする. 以下の問いに答えよ.
(1) 点 P が行列 \(A\) の表す移動で P 自身に移るとき, \(X\) の各頂点は \(X\) のいずれかの頂点に移ることを示せ. また, そのときの行列 \(A\) を求めよ.
(2) 点 P が行列 \(A\) の表す移動で \(X\) のある頂点に移るとき, \(X\) の各頂点は \(X\) のいずれかの頂点に移ることを示せ. また, そのときの行列 \(A\) を求めよ.
\(f(x) = \dfrac{1}{3} x^3 -\dfrac{1}{2} ax^2\) とおく. ただし \(a \gt 0\) とする.
(1) \(f(-1) \leqq f(3)\) となる \(a\) の範囲を求めよ.
(2) \(f(x)\) の極小値は \(f(-1)\) 以下となる \(a\) の範囲を求めよ.
(3) \(-1 \leqq x \leqq 3\) における \(f(x)\) の最小値を \(a\) を用いて表せ.
\(3\) つの曲線 \[\begin{align} C _ 1 : \ y & = \sin x \quad \left( 0 \leqq x \lt \frac{\pi}{2} \right) \\ C _ 2 : \ y & = \cos x \quad \left( 0 \leqq x \lt \frac{\pi}{2} \right) \\ C _ 3 : \ y & = \tan x \quad \left( 0 \leqq x \lt \frac{\pi}{2} \right) \end{align}\] について以下の問いに答えよ.
(1) \(C _ 1\) と \(C _ 2\) の交点, \(C _ 2\) と \(C _ 3\) の交点, \(C _ 3\) と \(C _ 1\) の交点のそれぞれについて \(y\) 座標を求めよ.
(2) \(C _ 1 , C _ 2 , C _ 3\) によって囲まれる図形の面積を求めよ.
点 \(O\) を原点とする座標平面上に, \(2\) 点 \(A \ (1,0)\) , \(B \ ( \cos \theta ,\sin \theta ) \ ( 90^{\circ} \lt \theta \lt 180^{\circ} )\) をとり, 以下の条件をみたす \(2\) 点 \(C , D\) を考える. \[ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = 1 , \ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OD} = 0 , \ \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = 0 , \ \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OD} = 1 \] また, \(\triangle OAB\) の面積 \(S _ 1\) , \(\triangle OCD\) の面積 \(S _ 2\) とおく.
(1) ベクトル \(\overrightarrow{OC}\) , \(\overrightarrow{OD}\) の成分を求めよ.
(2) \(S _ 2 = 2 S _ 1\) が成り立つとき, \(\theta\) と \(S _ 1\) の値を求めよ.
(3) \(S = 4 S _ 1 +3 S _ 2\) を最小にする \(\theta\) と, そのときの \(S\) の値を求めよ.
\(a\) を実数とし, \(A = \left( \begin{array}{cc} a+1 & a \\ 3 & a+2 \end{array} \right)\) とする. \(2\) 点 \(P (x,y)\) , \(Q (X,Y)\) について \[ \left( \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \] が成り立つとき, \(P\) は \(A\) により \(Q\) に移るという.
(1) 原点以外の点で, \(A\) によりそれ自身に移るものが存在するとき, \(a\) を求めよ.
(2) 次の条件 (＊) をみたす \(a , k\) を求めよ.
(3) (＊) をみたす \(a , k\) に対し, 直線 \(\ell\) 上の点で, \(A\) によりそれ自身に移るものを求めよ.
直線 \(\ell : \ mx+ny = 1\) が, 楕円 \(C : \ \dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{y^2}{b^2} =1 \ ( a \gt b \gt 0 )\) に接しながら動くとする.
(1) 点 \((m,n)\) の軌跡は楕円になることを示せ.
(2) \(C\) の焦点 \(F _ 1 \left( -\sqrt{a^2-b^2} , 0 \right)\) と \(\ell\) との距離を \(d _ 1\) とし, もう \(1\) つの焦点 \(F _ 2 \left( \sqrt{a^2-b^2} , 0 \right)\) と \(\ell\) との距離を \(d _ 2\) とする. このとき \(d _ 1 d _ 2 = b^2\) を示せ.
座標空間に \(8\) 点 \[\begin{align} & \text{O} \ (0,0,0) , \quad \text{P} \ (1,0,0) , \quad \text{Q} \ (1,1,0) , \quad \text{R} \ (0,1,0) , \\ & \text{A} \ (0,0,1) , \quad \text{B} \ (1,0,1) , \quad \text{C} \ (1,1,1) , \quad \text{D} \ (0,1,1) \end{align}\] をとり, 線分 BC の中点を M とする. 線分 RD 上の点を N \((0,1,t)\) とし, \(3\) 点 O , M , N を通る平面と線分 PD および線分 PB との交点をそれぞれ K , L とする.
(1) K の座標を \(t\) で表せ.
(2) 四面体 OKLP の体積を \(V(t)\) とする. N が線分 RD 上を R から D まで動くとき, \(V(t)\) の最大値と最小値およびそれらを与える \(t\) の値をそれぞれ求めよ.