長さ \(1\) の線分 AB を直径とする円周 \(C\) 上に点 P をとる. ただし, P は点 A , B とは一致していないとする. 線分 AB 上の点 Q を \(\angle \text{BPQ} =\dfrac{\pi}{3}\) となるようにとり, 線分 BP の長さを \(x\) とし, 線分 PQ の長さを \(y\) とする. 以下の問いに答えよ.
(1) \(y\) を \(x\) を用いて表せ.
(2) 点 P が \(2\) 点 A , B を除いた円周 \(C\) 上を動くとき, \(y\) が最大となる \(x\) を求めよ.
数列 \(\{ a _ n \}\) を \[ a _ 1 = 1 , \ a _ {n+1} = \sqrt{\dfrac{3a _ n+4}{2a _ n+3}} \quad ( n=1, 2, 3, \cdots ) \] で定める. 以下の問いに答えよ.
(1) \(n \geqq 2\) のとき, \(a _ n \gt 1\) となることを示せ.
(2) \(\alpha^2 = \dfrac{3 \alpha +4}{2 \alpha +3}\) を満たす正の実数 \(\alpha\) を求めよ.
(3) すべての自然数 \(n\) に対して, \(a _ n \lt \alpha\) となることを示せ.
(4) \(0 \lt r \lt 1\) を満たすある実数 \(r\) に対して, 不等式 \[ \dfrac{\alpha -a _ {n+1}}{\alpha -a _ n} \leqq r \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] が成り立つことを示せ. さらに, 極限 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} a _ n\) を求めよ.
\(n\) を自然数とし, \(1\) から \(n\) までの自然数の積を \(n !\) で表す. このとき以下の問いに答えよ.
(1) 単調に増加する連続関数 \(f(x)\) に対して, 不等式 \(\displaystyle\int _ {k-1}^k f(x) \, dx \leqq f(k)\) を示せ.
(2) 不等式 \(\displaystyle\int _ 1^n \log x \, dx \leqq \log n !\) を示し, 不等式 \(n^n e^{1-n} \leqq n !\) を導け.
(3) \(x \geqq 0\) に対して, 不等式 \(x^n e^{1-n} \leqq n !\) を示せ.
\(x\) の方程式 \(\left| \log _ {10} x \right| =px+q\) （ \(p,q\) は実数）が \(3\) つの相異なる正の解を持ち, 次の \(2\) つの条件を満たすとする.
(I) \(3\) つの解の比は, \(1 : 2 : 3\) である.
(II) \(3\) つの解のうち最小のものは, \(\dfrac{1}{2}\) より大きく, \(1\) より小さい.
このとき, \(A =\log _ {10} 2\) , \(B =\log _ {10} 3\) とおき, \(p\) と \(q\) を \(A\) と \(B\) を用いて表せ.
曲線 \(C : \ y =\dfrac{1}{x+2} \ ( x \gt -2 )\) を考える. 曲線 \(C\) 上の点 \(P _ 1 \left( 0 , \dfrac{1}{2} \right)\) における接線を \(\ell _ 1\) とし, \(\ell _ 1\) と \(x\) 軸との交点を \(Q _ 1\) , 点 \(Q _ 1\) を通り \(x\) 軸と垂直な直線と曲線 \(C\) との交点を \(P _ 2\) とおく. 以下同様に, 自然数 \(n \ ( n \geqq 2 )\) に対して, 点 \(P _ n\) における接線を \(\ell _ n\) とし, \(\ell _ n\) と \(x\) 軸との交点を \(Q _ n\) , 点 \(Q _ n\) を通り \(x\) 軸と垂直な直線と曲線 \(C\) との交点を \(P _ {n+1}\) とおく.
(1) \(\ell _ 1\) の方程式を求めよ.
(2) \(P _ n\) の \(x\) 座標を \(x _ n \ ( n \geqq 1 )\) とする. \(x _ {n+1}\) を \(x _ n\) を用いて表し, \(x _ n\) を \(n\) を用いて表せ.
(3) \(\ell _ n\) , \(x\) 軸, \(y\) 軸で囲まれる三角形の面積 \(S _ n\) を求め, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} S _ n\) を求めよ.
曲線 \(C : \ y =\log x \ ( x \gt 0 )\) を考える. 自然数 \(n\) に対して, 曲線 \(C\) 上に点 \(P ( e^n , n ) , \ Q ( e^{2n} , 2n )\) をとり, \(x\) 軸上に点 \(A ( e^n , 0 ) , \ B ( e^{2n} , 0 )\) をとる. 四角形 \(APQB\) を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる立体の体積を \(V(n)\) とする. また, 線分 \(PQ\) と曲線 \(C\) で囲まれる部分を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる立体の体積を \(S(n)\) とする.
(1) \(V(n)\) を \(n\) の式で表せ.
(2) \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{S _ n}{V _ n}\) を求めよ.
四面体 \(OABC\) において, 次が満たされているとする. \[ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA} \] 点 \(A , B , C\) を通る平面を \(\alpha\) とする. 点 \(O\) を通り平面 \(\alpha\) と直交する直線と平面 \(\alpha\) との交点を \(H\) とする.
(1) \(\overrightarrow{OA}\) と \(\overrightarrow{BC}\) は垂直であることを示せ.
(2) 点 \(H\) は \(\triangle ABC\) の垂心であること, すなわち \(\overrightarrow{AH} \perp \overrightarrow{BC}\) , \(\overrightarrow{BH} \perp \overrightarrow{CA}\) , \(\overrightarrow{CH} \perp \overrightarrow{AB}\) を示せ.
(3) \(\left| \overrightarrow{OA} \right| = \left| \overrightarrow{OB} \right| = \left| \overrightarrow{OC} \right| = 2\) , \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA} =1\) とする. このとき, \(\triangle ABC\) の各辺の長さおよび線分 \(OH\) の長さを求めよ.
以下の問いに答えよ.
(1) 座標平面において原点のまわりに角 \(\theta\) （ \(0 \lt \theta \lt \pi\) ）だけ回転する移動を表す行列を \(A\) とする. \(A\) が等式 \(A^2 -A +E = O\) を満たすとき, \(\theta\) と \(A\) を求めよ. ただし, \(E = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) , \(O = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)\) である.
(2) 直線 \(y = \sqrt{3} x\) に関する対称移動を表す行列 \(B\) を求めよ.
(3) 直線 \(y = kx\) に関する対称移動を表す行列を \(C\) とする, (1) , (2) において求めた \(A , B\) に対して \(BC = A\) が成り立つとき, \(k\) を求めよ.