次の \(2\) つの条件 (i) , (ii) をみたす自然数 \(n\) について考える.
(i) \(n\) は素数ではない.
(ii) \(l , m\) を \(1\) でも \(n\) でもない \(n\) の正の約数とすると, 必ず \[ | l-m | \leqq 2 \] である.
このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) \(n\) が偶数のとき, (i) , (ii) をみたす \(n\) をすべて求めよ.
(2) \(n\) が \(7\) の倍数のとき, (i) , (ii) をみたす \(n\) をすべて求めよ.
(3) \(2 \leqq n \leqq 1000\) の範囲で, (i) , (ii) をみたす \(n\) をすべて求めよ.
\(xyz\) 空間に \(3\) 点 O \((0,0,0)\) , A \((1,0,1)\) , B \((0,\sqrt{3},1)\) がある. 平面 \(z=0\) に含まれ, 中心が O , 半径が \(1\) の円を \(W\) とする. 点 P が線分 OA 上を, 点 Q が円 \(W\) の周および内部を動くとき, \(\overrightarrow{\text{OR}} =\overrightarrow{\text{OP}} +\overrightarrow{\text{OQ}}\) をみたす点R全体がつくる立体を \(V _ A\) とおく. 同様に点 P が線分 OB 上を, 点 Q が円 \(W\) の周および内部を動くとき, \(\overrightarrow{\text{OR}} =\overrightarrow{\text{OP}} +\overrightarrow{\text{OQ}}\) をみたす点 R 全体がつくる立体を \(V _ B\) とおく. さらに \(V _ A\) と \(V _ B\) の重なり合う部分を \(V\) とする. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) 平面 \(z =\cos \theta \ \left( 0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2} \right)\) による立体 \(V\) の切り口の面積を \(\theta\) を用いて表せ.
(2) 立体 \(V\) の体積を求めよ.
\(5\) 次式 \(f(x) =x^5 +px^4 +qx^3 +rx^2 +sx +t \) （ \(p, q, r, s, t\) は実数）について考える. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) 数列 \(f(0) , f(1) , f(2) , f(3) , f(4)\) が等差数列であることと, \[ f(x) =x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) +lx +m \] （ \(l, m\) は実数）と書けることは互いに同値であることを示せ.
(2) \(f(x)\) は (1) の条件をみたすものとする. \(\alpha\) を実数, \(k\) を \(3\) 以上の自然数とする. \(k\) 項からなる数列 \[ f( \alpha ) , f( \alpha +1 ) , f( \alpha +2 ) , \cdots , f( \alpha +k-1 ) \] が等差数列となるような \(\alpha , k\) の組をすべて求めよ.
\(1\) 個のさいころを \(3\) 回続けて投げるとき, \(1\) 回目に出る目を \(l\) , \(2\) 回目に出る目を \(m\) , \(3\) 回目に出る目を \(n\) で表すことにする. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) 極限値 \[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow -1} \dfrac{lx^2 +mx +n}{x+1} \] が存在する確率を求めよ.
(2) 関数 \[ f(x) =\dfrac{lx^2 +mx +n}{x+1} \] が, \(x \gt -1\) の範囲で極値をとる確率を求めよ.
(1) 辺の長さが \(1\) である正四面体OABCにおいて辺ABの中点をD, 辺OCの中点をEとする. \(2\) つのベクトル \(\overrightarrow{\text{DE}}\) と \(\overrightarrow{\text{AC}}\) との内積を求めよ.
(2) \(1\) から \(6\) までの目がそれぞれ \(\dfrac{1}{6}\) の確率で出るさいころを同時に \(3\) 個投げるとき, 目の積が \(10\) の倍数になる確率を求めよ.
(1) \(\log _ {10} 3 = 0.4771\) として, \(\textstyle\sum\limits _ {n=0}^{99} 3^n\) の桁数を求めよ.
(2) 実数 \(a\) に対して, \(a\) を超えない最大の整数を \([a]\) で表す. \(10000\) 以下の正の整数 \(n\) で \(\left[ \sqrt{n} \right]\) が \(n\) の約数となるものは何個ある.
\(3\) 次関数 \(y = x^3 -3x^2 +2x\) のグラフを \(C\) , 直線 \(y = ax\) を \(l\) とする.
(1) \(C\) と \(l\) が原点以外の共有点をもつような実数 \(a\) の範囲を求めよ.
(2) \(a\) が (1) で求めた範囲内にあるとき, \(C\) と \(l\) によって囲まれる部分の面積を \(S(a)\) とする. \(S(a)\) が最小となる \(a\) の値を求めよ.
\(n\) を正の整数とする. 数列 \(\{ a _ k \}\) を \[\begin{align} a _ 1 & = \dfrac{1}{n(n+1)} , \\ a _ {k+1} & = -\dfrac{1}{k+n+1} +\dfrac{n}{k} \textstyle\sum\limits _ {i=1}^k a _ i \quad ( k =1, 2, 3, \cdots ) \end{align}\] によって定める.
(1) \(a _ 2\) および \(a _ 3\) を求めよ.
(2) 一般項 \(a _ k\) を求めよ.
(3) \(b _ n =\textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \sqrt{a _ k}\) とおくとき, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} b _ n =\log 2\) を示せ.