\(A =\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) で定める \(1\) 次変換を \(f\) とする. 原点 O \((0,0)\) と異なる任意の \(2\) 点 P, Q に対して \(\dfrac{\text{OP'}}{\text{OP}} =\dfrac{\text{OQ'}}{\text{OQ}}\) が成り立つ. ただし, P', Q' はそれぞれ P, Q の \(f\) による像を表す.
(1) \(a^2+c^2 =b^2+d^2\) を示せ.
(2) \(1\) 次変換 \(f\) により, 点 \((1, \sqrt{3})\) が点 \((-4,0)\) に移るとき, \(A\) を求めよ.
\(xyz\) 空間に \(4\) 点 P \((0,0,2)\) , A \((0,2,0)\) , B \((\sqrt{3},-1,0)\) , C \((-\sqrt{3},-1,0)\) をとる. 四面体 PABC の \(x^2+y^2 \geqq 1\) をみたす部分の体積を求めよ.
次の各問に答えよ.
(1) \(a\) が正の実数のとき \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( 1+a^n \right)^{\frac{1}{n}}\) を求めよ.
(2) 定積分 \(\displaystyle\int _ 1^{\sqrt{3}} \dfrac{1}{x^2} \log \sqrt{1+x^2} \, dx\) の値を求めよ.
正四面体 OABC において, 点 P, Q, R をそれぞれ辺 OA, OB, OC 上にとる. ただし P, Q, R は四面体 OABC の頂点とは異なるとする. △PQR が正三角形ならば, \(3\) 辺 PQ, QR, RP はそれぞれ \(3\) 辺 AB, BC, CA に平行であることを証明せよ.
実数 \(x , y\) が条件 \(x^2 +xy +y^2 =6\) を満たしながら動くとき \[ x^2y +xy^2 -x^2 -2xy -y^2 +x +y \] がとりうる値の範囲を求めよ.
(1) \(\sqrt[3]{2}\) が無理数であることを証明せよ.
(2) \(P(x)\) は有理数を係数とする \(x\) の多項式で, \(P( \sqrt[3]{2} ) =0\) を満たしているとする. このとき \(P(x)\) は \(x^3-2\) で割り切れることを証明せよ.
次の命題 (p) , (q) のそれぞれについて, 正しいかどうか答えよ. 正しければ証明し, 正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ.
(p) 正 \(n\) 角形の頂点から \(3\) 点を選んで内角の \(1\) つが \(60^{\circ}\) である三角形を作ることができるならば, \(n\) は \(3\) の倍数である.
(q) △ABC と △ABD において, \(\text{AC} \lt \text{AD}\) かつ \(\text{BC} \lt \text{DB}\) ならば, \(\angle \text{C} \gt \angle \text{D}\) である.
さいころを \(n\) 回投げて出た目を順に \(X _ 1 , X _ 2 , \cdots , X _ n\) とする. さらに \[ Y _ 1 = X _ 1 , \ Y _ k = X _ k +\dfrac{1}{Y _ {k-1}} \quad ( k =2, \cdots , n ) \] によって \(Y _ 1 , Y _ 2 , \cdots , Y _ n\) を定める. \[ \dfrac{1+\sqrt{3}}{2} \leqq Y _ n \leqq 1+\sqrt{3} \] となる確率 \(p _ n\) を求めよ.