関数 \(y = x(x-1)(x-3)\) のグラフを \(C\) , 原点 O を通る傾き \(t\) の直線を \(\ell\) とし, \(C\) と \(\ell\) が O 以外に共有点をもつとする. \(C\) と \(\ell\) の共有点を O , P , Q とし, \(\overrightarrow{\text{OP}}\) と \(\overrightarrow{\text{OQ}}\) の積を \(g(t)\) とおく. ただし, それら共有点の \(1\) つが接点である場合は, O , P , Q のうち \(2\) つが一致して, その接点であるとする. 関数 \(g(t)\) の増減を調べ, その極値を求めよ.

座標平面上の \(3\) 点 \[ \text{P} \left( 0 , -\sqrt{2} \right) , \ \text{Q} \left( 0 , \sqrt{2} \right) , \ \text{A} \left( a , \sqrt{a^2+1} \right) \quad ( 0 \leqq a \leqq 1 ) \] を考える.

1. (1)　\(2\) つの線分の長さの差 \(\text{PA} -\text{AQ}\) は \(a\) によらない定数であることを示し, その値を求めよ.

2. (2)　Qを端点としAを通る半直線と放物線 \(y = \dfrac{\sqrt{2}}{8} x^2\) との交点をBとする. 点Bから直線 \(y=2\) へ下ろした垂線と直線 \(y=2\) との交点をCとする. このとき, 線分の長さの和 \[ \text{PA} +\text{AB} +\text{BC} \] は \(a\) によらない定数であることを示し, その値を求めよ.

\(a , b\) を実数の定数とする. 実数 \(x , y\) が \[ x^2 +y^2 \leqq 25 , \ 2x+y \leqq 5 \] をともにみたすとき, \(z = x^2+y^2-2ax-2by\) の最小値を求めよ.

A , B の \(2\) 人がいる. 投げたとき表裏の出る確率がそれぞれ \(\dfrac{1}{2}\) のコインが \(1\) 枚あり, 最初は A がそのコインを持っている. 次の操作を繰り返す.

1. (i)　A がコインを持っているときは, コインを投げ, 表が出れば A に \(1\) 点を与え, コインは A がそのまま持つ. 裏が出れば, 両者に点を与えず, A はコインを B に渡す.

2. (ii)　B がコインを持っているときは, コインを投げ, 表が出れば B に \(1\) 点を与え, コインは B がそのまま持つ. 裏が出れば, 両者に点を与えず, B はコインを A に渡す.

そして A , B のいずれかが \(2\) 点を獲得した時点で, \(2\) 点を獲得した方の勝利とする. たとえば, コインが表, 裏, 表, 表と出た場合, この時点で A は \(1\) 点, B は \(2\) 点を獲得しているので, B の勝利となる. A , B あわせてちょうど \(n\) 回コインを投げ終えたときに A の勝利となる確率 \(p _ n\) を求めよ.