\(x \gt 0\) とし, \(f(x) = \log x^{100}\) とおく.
(1) 次の不等式を証明せよ. \[ \dfrac{100}{x+1} \lt f(x+1) -f(x) \lt \dfrac{100}{x} \]
(2) 実数 \(a\) の整数部分（ \(k \leqq a \lt k+1\) となる整数 \(k\) ）を \([a]\) で表す. 整数 \(\left[ f(1) \right] , \left[ f(2) \right] , \cdots , \left[ f(1000) \right]\) のうちで異なるものの個数を求めよ. 必要ならば \(\log 10 = 2.3026\) として計算せよ.
\(k , m , n\) は整数とし, \(n \geqq 1\) とする. \({} _ {n}\text{C} {} _ {k}\) を二項係数として, \(S_k(n) , T_m(n)\) を以下のように定める. \[\begin{align} S_k(n) & = 1^k +2^k + \cdots +n^k , \ S_k(1) = 1 \quad ( k \geqq 0 ） \\ T_m(n) & = {} _ {m}\text{C} {} _ {1} S_1(n) +{} _ {m}\text{C} {} _ {2} S_2(n) + \cdots +{} _ {m}\text{C} {} _ {m-1} S_{m-1}(n) \\ & = \textstyle\sum\limits_{k=1}^{m-1} {} _ {m}\text{C} {} _ {k} S_k(n) \quad ( m \geqq 2 ) \end{align}\]
(1) \(T_m(1)\) と \(T_m(2)\) を求めよ.
(2) 一般の \(n\) に対して \(T_m(n)\) を求めよ.
(3) \(p\) が \(3\) 以上の素数のとき, \(S_k(p-1) \ ( k = 1, 2, 3, \cdots , p-2 )\) は \(p\) の倍数であることを示せ .
半径 \(1\) の円盤 \(C_1\) が半径 \(2\) の円盤 \(C_2\) に貼り付けられており, \(2\) つの円盤の中心は一致する. \(C_2\) の周上にある定点を A とする. 図のように, 時刻 \(t=0\) において \(C_1\) はO \((0,0)\) で \(x\) 軸に接し, A は座標 \((0,-1)\) の位置にある. \(2\) つの円盤は一体となり, \(C_1\) は \(x\) 軸上をすべることなく転がっていく. 時刻 \(t\) で \(C_1\) の中心が \((t,1)\) にあるように転がるとき, \(0 \leqq t \leqq 2 \pi\) において A が描く曲線を \(C\) とする.
(1) 時刻 \(t\) における A の座標を \(\left( x(t) , y(t) \right)\) で表す. \(\left( x(t) , y(t) \right)\) を求めよ.
(2) \(x(t)\) と \(y(t)\) の \(t\) に関する増減を調べ, \(x(t)\) あるいは \(y(t)\) が最大値または最小値をとるときの A の座標を全て求めよ.
(3) \(C\) と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.
以下の各問いに答えよ.
(1) 実数 \(\alpha , \beta\) が \(0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(0 \lt \beta \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(\tan \alpha \tan \beta = 1\) を満たすとき, \(\alpha +\beta\) の値を求めよ.
(2) 実数 \(\alpha , \beta , \gamma\) が \(0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(0 \lt \beta \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(0 \lt \gamma \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(\alpha +\beta +\gamma = \dfrac{\pi}{2}\) を満たすとき, \[ \tan \alpha \tan \beta +\tan \beta \tan \gamma +\tan \gamma \tan \alpha \] の値は一定であることを示せ.
(3) 実数 \(\alpha , \beta , \gamma\) が \(0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(0 \lt \beta \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(0 \lt \gamma \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(\alpha +\beta +\gamma = \dfrac{\pi}{2}\) を満たすとき, \[ \tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma \] のとりうる値の範囲を求めよ.
\(2\) 次正方行列 \(\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) のうち, 次の \(3\) 条件 (i) , (ii) , (iii) を満たすもの全体の集合を \(M\) とする.
(i) \(a , b , c , d\) はすべて整数
(ii) \(b+c = 0\)
(iii) \(a-b-d = 0\)
また \(E\) を \(2\) 次単位行列とする. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) 行列 \(A , B\) がともに \(M\) の要素であるとき, それらの積 \(AB\) も \(M\) の要素であることを示せ.
(2) 行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) とその逆行列 \(A^{-1}\) がともに \(M\) の要素であるとき, \(ad-bc = 1\) が成立することを示せ.
(3) 行列 \(A\) とその逆行列 \(A^{-1}\) がともに \(M\) の要素であるような \(A\) をすべて求めよ.
(4) 自然数 \(n\) について, \(M\) の要素であって \(A^n = E\) を満たすような行列 \(A\) の全体の集合を \(S _ n\) とする. \(S _ n\) の要素の個数がちょうど \(3\) となる \(n\) をすべて求めよ.
\(m , n\) を自然数として, 関数 \(f(x) = x^m (1-x)^n\) を考える. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(0 \leqq x \leqq 1\) における \(f(x)\) の最大値を \(m , n\) を用いて表せ.
(2) 定積分 \(\displaystyle\int _ 0^1 f(x) \, dx\) を \(m , n\) を用いて表せ.
(3) \(a , b , c\) を実数として, 関数 \(g(x) = ax^2+bx+c\) の \(0 \leqq x \leqq 1\) における最大値を \(M(a,b,c)\) とする. 次の \(2\) 条件 (i) , (ii) が成立するとき, \(M(a,b,c)\) の最小値を \(m , n\) を用いて表せ.
(i) \(g(0) = g(1) = 0\)
(ii) \(0 \lt x \lt 1\) のとき \(f(x) \leqq g(x)\)
(4) \(m , n\) が \(2\) 以上の自然数で \(m \gt n\) であるとき \[ \dfrac{(m+n+1)!}{m! n!} \gt \dfrac{(m+n)^{m+n}}{m^m n^n} \gt 2^{2n-1} \ . \] が成立することを示せ.
三角関数の極限に関する公式 \[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \] を示すことにより, \(\sin x\) の導関数が \(\cos x\) であることを証明せよ.
不等式 \[ 1 \leqq \left| |x|-2 \right| +\left| |y|-2 \right| \leqq 3 \ . \] の表す領域を \(xy\) 平面上に図示せよ.