「2014年」タグアーカイブ

一橋大2014：第2問

投稿日時: 投稿者:
返信
\(0 \lt t \lt 1\) とし, 放物線 \(C : \ y = x^2\) 上の点 \(( t , t^2 )\) における接線を \(l\) とする. \(C\) と \(l\) と \(x\) 軸で囲まれる部分の面積を \(S_1\) とし, \(C\) と \(l\) と直線 \(x = 1\) で囲まれる部分の面積を \(S_2\) とする. \(S_1 +S_2\) の最小値を求めよ.
続きを読む →

一橋大2014：第3問

投稿日時: 投稿者:
返信
円 \(C : \ x^2 +y^2 = 1\) 上の点Pにおける接線を \(l\) とする. 点 \(( 1 , 0 )\) を通り, \(l\) と平行な直線を \(m\) とする. 直線 \(m\) と円 \(C\) の \(( 1 , 0 )\) 以外の共有点をP'とする. ただし, \(m\) が直線 \(x = 1\) のときはP'を \(( 1 , 0 )\) とする. 円 \(C\) 上の点 \(( s , t )\) から点P' \(( s' , t' )\) を得る上記の操作をTと呼ぶ.
  1. (1)　\(s' , t'\) をそれぞれ \(s\) と \(t\) の多項式として表せ.
  2. (2)　点Pに操作Tを \(n\) 回繰り返して得られる点を \(\text{P} _ n\) とおく. Pが \(\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} , \dfrac{1}{2} \right)\) のとき, \(\text{P} _ 1 , \text{P} _ 2 , \text{P} _ 3\) を図示せよ.
  3. (3)　正の整数 \(n\) について, \(\text{P} _ n = \text{P}\) となるような点Pの個数を求めよ.
続きを読む →

一橋大2014：第5問

投稿日時: 投稿者:
返信
数直線上の点Pを次の規則で移動させる. 一枚の硬貨を投げて, 表が出ればPを \(+1\) だけ移動させ, 裏が出ればPを原点に関して対称な点に移動させる. Pは初め原点にあるとし, 硬貨を \(n\) 回投げた後のPの座標を \(a_n\) とする.
  1. (1)　\(a_3 = 0\) となる確率を求めよ.
  2. (2)　\(a_4 = 1\) となる確率を求めよ.
  3. (3)　\(n \geqq 3\) のとき, \(a_n = n-3\) となる確率を \(n\) を用いて表せ.
続きを読む →

東大文系2014：第1問

投稿日時: 投稿者:
返信

以下の問いに答えよ.

  1. (1)　\(t\) を実数の定数とする. 実数全体を定義域とする関数 \(f(x)\) を \[ f(x) = -2x^2 +8tx -12x +t^3 -17t^2 +39t -18 \] と定める. このとき, 関数 \(f(x)\) の最大値を \(t\) を用いて表せ.

  2. (2)　(1) の「関数 \(f(x)\) の最大値」を \(g(t)\) とする. \(t\) が \(t \geqq -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) の範囲を動くとき, \(g(t)\) の最小値を求めよ.

続きを読む →

東大文系2014：第2問

投稿日時: 投稿者:
返信

\(a\) を自然数（すなわち \(1\) 以上の整数）の定数とする. 白球と赤球があわせて \(1\) 個以上入っている袋 U に対して, 次の操作 (＊) を考える.

  1. (＊)　袋 U から球を \(1\) 個取り出し,

    1. (i)　取り出した球が白球のときは, 袋 U の中身が白球 \(a\) 個, 赤球 \(1\) 個となるようにする.

    2. (ii)　取り出した球が赤球のときは, その球を袋 U へ戻すことなく, 袋 U の中身はそのままにする.

はじめに袋 U の中に, 白球が \(a+2\) 個, 赤球が \(1\) 個入っているとする. この袋 U に対して操作 (＊) を繰り返し行う. たとえば, \(1\) 回目の操作で白球が出たとすると, 袋 U の中身は白球 \(a\) 個, 赤球 \(1\) 個となり, さらに \(2\) 回目の操作で赤球が出たとすると, 袋 U の中身は白球 \(a\) 個のみとなる. \(n\) 回目に取り出した球が赤球である確率を \(p _ n\) とする. ただし, 袋 U の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする.

  1. (1)　\(p _ 1\) , \(p _ 2\) を求めよ.

  2. (2)　\(n \geqq 3\) に対して \(p _ n\) を求めよ.

続きを読む →

東大文系2014：第3問

投稿日時: 投稿者:
返信

座標平面の原点を O で表す.
線分 \(y = \sqrt{3} x \quad ( 0 \leqq x \leqq 2 )\) 上の点 P と, 線分 \(y = -\sqrt{3} x \quad ( -3 \leqq x \leqq 0 )\) 上の点 Q が, 線分 OP と線分 OQ の長さの和が \(6\) となるように動く. このとき, 線分 PQ の通過する領域を \(D\) とする.

  1. (1)　\(s\) を \(-3 \leqq s \leqq 2\) をみたす実数とするとき, 点 \((s,t)\) が \(D\) に入るような \(t\) の範囲を求めよ.

  2. (2)　\(D\) を図示せよ.

続きを読む →