「2014年」タグアーカイブ

東大文系2014：第4問

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\(r\) を \(0\) 以上の整数とし, 数列 \(\{ a _ n \}\) を次のように定める. \[\begin{align} & a _ 1 = r , \quad a _ 2 = r+1 , \\ & a _ {n+2} = a _ {n+1} ( a _ n +1 ) \quad ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) \end{align}\] また, 素数 \(p\) を \(1\) つとり, \(a _ n\) を \(p\) で割った余りを \(b _ n\) とする. ただし, \(0\) を \(p\) で割った余りは \(0\) とする.

  1. (1)　自然数 \(n\) に対し, \(b _ {n+2}\) は \(b _ {n+1} ( b _ n +1 )\) を \(p\) で割った余りと一致することを示せ.

  2. (2)　\(r=2\) , \(p=17\) の場合に, \(10\) 以下のすべての自然数 \(n\) に対して, \(b _ n\) を求めよ.

  3. (3)　ある \(2\) つの相異なる自然数 \(n , m\) に対して, \[ b _ {n+1} = b _ {m+1} \gt 0 , \quad b _ {n+2} = b _ {m+2} \] が成り立つとする. このとき \(b _ n = b _ m\) が成り立つことを示せ.

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早稲田理工2014：第1問

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複素数 \(\alpha = \dfrac{-1 +\sqrt{3} i}{2}\) に対して, \[ S _ n = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n {\alpha}^{k-1} , \ T _ n = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n k {\alpha}^{k-1} \quad ( n = 1, 2, \cdots ) \] とおく. ただし, \({\alpha}^0 = 1\) とする. 次の問に答えよ.

  1. (1)　\(S _ {3m} \ ( n = 1, 2, \cdots )\) を求めよ.

  2. (2)　\(T _ {3m} \ ( n = 1, 2, \cdots )\) を求めよ.

  3. (3)　\(T _ {2014}\) を求めよ.

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早稲田理工2014：第2問

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\(3\) 次関数 \(f(x) = x^3 -ax -b\) について, 次の問に答えよ.

  1. (1)　\(a \gt 0\) であるとき, \(f(x)\) の極大値と極小値を求めよ.

  2. (2)　次の (i) , (ii) , (iii) を示せ.

    1. (i)　\(27b^2 -4a^3 \gt 0\) のとき, \(3\) 次方程式 \(f(x) = 0\) はただ \(1\) つの実数解をもつ.

    2. (ii)　\(27b^2 -4a^3 = 0\) かつ \(a \gt 0\) のとき, \(3\) 次方程式 \(f(x) = 0\) は異なる \(2\) つの実数解をもつ.

    3. (iii)　\(27b^2 -4a^3 \lt 0\) のとき, \(3\) 次方程式 \(f(x) = 0\) は異なる \(3\) つの実数解をもつ.

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早稲田理工2014：第3問

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立方体の面を \(3\) 色を用いて \(2\) つずつ同じ色に塗る. 次の問に答えよ.

  1. (1)　向かい合う \(2\) 面が, どの組についても同じ色で塗られる確率を求めよ.

  2. (2)　向かい合う \(2\) 面が, どの組についても同じ色にならない確率を求めよ.

  3. (3)　向かい合う \(2\) 面の組のうち, \(2\) 面の色が同じになる組の個数の期待値を求めよ.

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早稲田理工2014：第5問

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O を原点とする座標平面上に \[ \text{放物線} \ C _ 1 : \ y = x^2 , \ \text{円} \ C _ 2 : \ x^2 +(y-a)^2 = 1 \quad ( a \geqq 0 ) \] がある. \(C _ 2\) の点 \(( 0 , a+1 )\) における接線と \(C _ 1\) が \(2\) 点 A , B で交わり, △OAB が \(C _ 2\) に外接しているとする. 次の問に答えよ.

  1. (1)　\(a\) を求めよ.

  2. (2)　点 \(( s , t )\) を \(( -1 , a ) , ( 1 , a ) , ( 0 , a-1 )\) と異なる \(C _ 2\) 上の点とする. そして点 \(( s , t )\) における \(C _ 2\) の接線と \(C _ 1\) との \(2\) つの交点を P \(( \alpha , {\alpha}^2 )\) , Q \(( \beta , {\beta}^2 )\) とする. このとき, \(( \alpha -\beta )^2 -{\alpha}^2 {\beta}^2\) は \(s, t\) によらない定数であることを示せ.

  3. (3)　(2) において, 点 P \(( \alpha , {\alpha}^2 )\) から \(C _ 2\) への \(2\) つの接線が再び \(C _ 1\) と交わる点を Q \(( \beta , {\beta}^2 )\) , R \(( \gamma , {\gamma}^2 )\) とする. \(\beta +\gamma\) および \(\beta \gamma\) を \(\alpha\) を用いて表せ.

  4. (4)　(3) の \(2\) 点 Q, R に対し, 直線 QR は \(C _ 2\) と接することを示せ.

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横国大理系2014：第2問

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\(r\) を \(0 \lt r \lt 1\) をみたす定数とする. 次の問いに答えよ.

  1. (1)　数列 \(\{ a _ n \}\) を \(a _ n = \left[ \dfrac{n}{3} \right]\) で定める. ただし, 実数 \(x\) に対して, \([x]\) は \(\ell \leqq x \lt \ell +1\) をみたす整数 \(\ell\) を表す. このとき \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{3n} (-1)^{k-1} r^{a _ k} \] を求めよ.

  2. (2)　数列 \(\{ b _ n \}\) を \[\begin{align} n \ \text{が奇数のとき} \quad & b _ n = n \\ n \ \text{が偶数のとき} \quad & b _ n = 2n \end{align}\] で定める. このとき \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{1}{n} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{2n} (-1)^{k-1} r^{\frac{b _ k}{n}} \] を求めよ.

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