\(xy\) 平面の \(y \geqq 0\) の部分にあり, \(x\) 軸に接する円の列 \(C _ 1 , C _ 2 , C _ 3 , \cdots\) を次のように定める.
\(C _ 1\) と \(C _ 2\) は半径 \(1\) の円で, 互いに外接する.
正の整数 \(n\) に対し, \(C _ {n+2}\) は \(C _ n\) と \(C _ {n+1}\) に外接し, \(C _ n\) と \(C _ {n+1}\) の弧および \(x\) 軸に囲まれる部分にある.
円 \(C _ n\) の半径を \(r _ n\) とする.
(1) 等式 \(\dfrac{1}{\sqrt{r _ {n+2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{r _ n}} +\dfrac{1}{\sqrt{r _ {n+1}}}\) を示せ.
(2) すべての正の整数 \(n\) に対して \(\dfrac{1}{\sqrt{r _ n}} = s {\alpha}^n +t {\beta}^n\) が成り立つように, \(n\) によらない定数 \(\alpha , \beta , s , t\) の値を一組与えよ.
(3) \(n \rightarrow \infty\) のとき数列 \(\left\{ \dfrac{r _ n}{k^n} \right\}\) が正の値に収束するように実数 \(k\) の値を定め, そのときの極限値を求めよ.
解答
(1)
円 \(C _ n\) の中心を \(\text{A} _ n\) , \(x\) 軸との接点を \(\text{H} _ n\) とおく.
\[\begin{align}
\text{H} _ n \text{H} _ {n+1} & = \sqrt{( r _ n +r _ {n+1})^2 -( r _ n -r _ {n+1})^2} \\
& = 2 \sqrt{r _ n r _ {n+1}} \ .
\end{align}\]
同様に
\[
\text{H} _ {n+1} \text{H} _ {n+2} = 2 \sqrt{r _ {n+1} r _ {n+2}} , \ \text{H} _ n \text{H} _ {n+2} = 2 \sqrt{r _ n r _ {n+2}} \ .
\]
\(\text{H} _ n \text{H} _ {n+1} = \text{H} _ {n+1} \text{H} _ {n+2} +\text{H} _ n \text{H} _ {n+2}\) なので
\[\begin{align}
2 \sqrt{r _ n r _ {n+1}} & = 2 \sqrt{r _ {n+1} r _ {n+2}} +2 \sqrt{r _ n r _ {n+2}} \\
\text{∴} \quad \dfrac{1}{\sqrt{r _ {n+2}}} & = \dfrac{1}{\sqrt{r _ n}} +\dfrac{1}{\sqrt{r _ {n+1}}} \ .
\end{align}\]
(2)
\(a _ n = \dfrac{1}{\sqrt{r _ n}}\) とおくと, (1) の結果より
\[
a _ {n+2} -a _ {n+1} -a _ n = 0 \quad ... [1] \ .
\]
方程式 \(x^2 -x -1 = 0\) の解を \(p , q \ ( p \gt q )\) とおくと
\[
p = \dfrac{1 +\sqrt{5}}{2} , \ q = \dfrac{1 -\sqrt{5}}{2} \ .
\]
また, 解と係数の関係より \(p+q = 1\) , \(pq = -1\) なので, [1] より
\[\begin{align}
a _ {n+2} -p a _ {n+1} & = q \left( a _ {n+1} -p a _ n \right) , \\
a _ {n+2} -q a _ {n+1} & = p \left( a _ {n+1} -q a _ n \right) \ .
\end{align}\]
したがって, \(a _ 1 = a _ 2 = 1\) であることを用いれば
\[\begin{align}
a _ {n+1} -p a _ n & = q^{n-1} \left( a _ 2 -p a _ 1 \right) = q^{n-1} (1-p) = q^n, \\
a _ {n+1} -q a _ n & = p^{n-1} \left( a _ 2 -q a _ 1 \right) = p^{n-1} (1-q) = p^n \ .
\end{align}\]
辺々を引くと
\[\begin{align}
(p-q) a _ n & = p^n -q^n \\
\text{∴} \quad a _ n & = \dfrac{1}{p-q} \left( p^n -q^n \right) \ .
\end{align}\]
\(p-q = \sqrt{5}\) なので, 求める組合せの \(1\) つは
\[
\alpha = \underline{\dfrac{1 +\sqrt{5}}{2}} , \ \beta = \underline{\dfrac{1 -\sqrt{5}}{2}} , \ s = t = \underline{\dfrac{1}{\sqrt{5}}} \ .
\]
(3)
(2) の結果を用いれば
\[\begin{align}
\dfrac{r _ n}{k^n} & = \dfrac{1}{k^n \left( s {\alpha}^n +t {\beta}^n \right)^2} \\
& = \underline{\dfrac{1}{\left( k {\alpha}^2 \right)^n}} _ {[2]} \cdot \underline{\dfrac{1}{\left\{s +t \left( \frac{\beta}{\alpha} \right)^n \right\}^2}} _ {[3]} \ .
\end{align}\]
下線部 [3] について, \(\left| \dfrac{\beta}{\alpha} \right| \lt 1\) なので, \(n \rightarrow \infty\) のとき
\[
[3] \rightarrow \dfrac{1}{s^2} = \dfrac{1}{5} \ .
\]
したがって, 下線部 [2] が, 正の値に収束する条件を考えればよい.
よって, 求める \(k\) の値は
\[\begin{align}
k {\alpha}^2 & = 1 \\
\text{∴} \quad k & = \dfrac{1}{{\alpha}^2} = \underline{\dfrac{3 -\sqrt{5}}{2}} \ .
\end{align}\]
また, このとき
\[\begin{align}
\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{r _ n}{k^n} = \underline{\dfrac{1}{5}} \ .
\end{align}\]
