\(1\) つの角が \(120^{\circ}\) の三角形がある. この三角形の \(3\) 辺の長さ \(x , y , z\) は \(x \lt y \lt z\) を満たす整数である.
(1) \(x+y-z = 2\) を満たす \(x , y , z\) の組をすべて求めよ.
(2) \(x+y-z = 3\) を満たす \(x , y , z\) の組をすべて求めよ.
(3) \(a , b\) を \(0\) 以上の整数とする. \(x+y-z = 2^a 3^b\) を満たす \(x , y , z\) の組の個数を \(a\) と \(b\) の式で表せ.
定数 \(a , b , c , d\) に対して, 平面上の点 \((p,q)\) を点 \((ap+bq , cp+dq)\) に移す操作を考える. ただし, \((a,b,c,d) \neq (1,0,0,1)\) である. \(k\) を \(0\) でない定数とする. 放物線 \(C : \ y = x^2-x+k\) 上のすべての点は, この操作によって \(C\) 上に移る.
(1) \(a , b , c , d\) を求めよ.
(2) \(C\) 上の点 A における \(C\) の接線と, 点 A をこの操作によって移した点 A' における \(C\) の接線は, 原点で直交する. このときの \(k\) の値および点 A の座標をすべて求めよ.
\(xyz\) 空間内の平面 \(z = 2\) 上に点 P があり, 平面 \(z = 1\) 上に点 Q がある. 直線 PQ と \(xy\) 平面の交点を R とする.
(1) P \((0,0,2)\) とする. 点 Q が平面 \(z = 1\) 上で点 \((0,0,1)\) を中心とする半径 \(1\) の円周上を動くとき, 点 R の軌跡の方程式を求めよ.
(2) 平面 \(z = 1\) 上に \(4\) 点 A \((1,1,1)\) , B \((1,-1,1)\) , C \((-1,-1,1)\) , D \((-1,1,1)\) をとる. 点 P が平面 \(z = 2\) 上で点 \((0,0,2)\) を中心とする半径 \(1\) の円周上を動き, 点 Q が正方形 ABCD の周上を動くとき, 点 R が動きうる領域を \(xy\) 平面上に図示し, その面積を求めよ.
最初に \(1\) の目が上面にあるようにサイコロが置かれている. その後, \(4\) つの側面から \(1\) つの面を無作為に選び, その面が上面になるように置き直す操作を \(n\) 回繰り返す. なお, サイコロの向かい合う面の目の数の和は \(7\) である.
(1) 最後に \(1\) の目が上面にある確率を求めよ.
(2) 最後に上面にある目の数の期待値を求めよ.
\(3\) 次方程式 \(x^3+ax^2+bx+c = 0\) は異なる \(3\) つの解 \(p , q , r\) をもつ. さらに \(2p^2-1 , 2q-1 , 2r-1\) も同じ方程式の異なる \(3\) つの解である. \(a , b , c , p , q , r\) の組をすべて求めよ.
\(a\) を正の実数とする. 点 \((x,y)\) が, 不等式 \(x^2 \leqq y \leqq x\) の定める領域を動くとき, 常に \(\dfrac{1}{2} \leqq (x-a)^2+y \leqq 2\) となる. \(a\) の範囲を求めよ.
\(x^2 \leqq y \leqq x\) ... [1] が示す領域 \(D\) は, 下図斜線部.
\(\dfrac{1}{2} \leqq (x-a)^2+y \leqq 2\) ... [2] を変形すると \[ -(x-a)^2 +\dfrac{1}{2} \leqq y \leqq -(x-a)^2 +2 \] ゆえに, [2] が示す領域 \(C\) は \(2\) つの放物線に挟まれた下図斜線部.
以上より, \(D\) が \(C\) が含まれるような, \(a\) の範囲を求めればよい.
\(a\) すなわち \(C\) を作る \(2\) つの放物線を動かすとき, \(D\) を含むかどうかの境界となるのは, 以下の \(2\) つの場合が考えられる.
1* 下の放物線が, \(0 \leqq x \leqq 1\) で \(y=x^2\) と接するとき.
2* 上の放物線の \(x \leqq a\) の部分が, 原点を通るとき.
それぞれの場合の \(a\) の値を求める.
1*について
\[\begin{align}
-(x-a)^2+\dfrac{1}{2} & =x^2 \\
4x^2 -4ax +2a^2 -1 & = 0
\end{align}\]
この判別式 \(E\) について
\[\begin{align}
E = (2a)^2 -4 \left( 2a^2 -1 \right) & = 0 \\
4a^2 -4 & = 0 \\
\text{∴} \quad a = 1
\end{align}\]
2*について
\[\begin{align}
0 = -(0-a)^2 & +2 \\
\text{∴} \quad a & = \sqrt{2}
\end{align}\]
よって, 求める \(a\) の範囲は \[ \underline{1 \leqq a \leqq \sqrt{2}} \]