正四面体 OABC の \(1\) 辺の長さが \(1\) とする. 辺 OA を \(2:1\) に内分する点 P , 辺 OB を \(1 : 2\) に内分する点を Q とし, \(0 \lt t \lt 1\) をみたす \(t\) に対して, 辺 OC を \(t : 1-t\) に内分する点を R とする.
(1) PQ の長さを求めよ.
(2) △PQR の面積が最小になるときの \(t\) の値を求めよ.
\(n\) を \(3\) 以上の整数とする. \(2n\) 枚のカードがあり, そのうち赤いカードの枚数は \(6\) , 白いカードの枚数は \(2n-6\) である. これら \(2n\) 枚のカードを, 箱 A と箱 B に \(n\) 枚ずつ無作為に入れる. \(2\) つの箱の少なくとも一方に赤いカードがちょうど \(k\) 枚入っている確率を \(p _ k\) とする.
(1) \(p _ 2\) を \(n\) の式で表せ. さらに, \(p _ 2\) を最大にする \(n\) をすべて求めよ.
(2) \(p _ 1 +p _ 2 \lt p _ 0 +p _ 3\) をみたす \(n\) をすべて求めよ.
(1) 任意の角 \(\theta\) に対して, \(-2 \leqq x \cos \theta +y \sin \theta \leqq y+1\) が成立するような点 \((x, y)\) の全体からなる領域を \(xy\) 平面上に図示し, その面積を求めよ.
(2) 任意の角 \(\alpha , \beta\) に対して, \(-1 \leqq x^2 \cos \alpha +y \sin \beta \leqq 1\) が成立するような点 \((x, y)\) の全体からなる領域を \(xy\) 平面上に図示し, その面積を求めよ.
\(p , q\) を実数とする. 放物線 \(y = x^2-2px+q\) が, 中心 \((p, 2p)\) で半径 \(1\) の円と中心 \((p, p)\) で半径 \(1\) の円の両方と共有点をもつ. この放物線の頂点が存在しうる領域を \(xy\) 平面上に図示せよ.
一辺の長さが \(2\) の正三角形 ABC を平面上におく. △ABC を \(1\) つの辺に関して \(180^{\circ}\) 折り返すという操作を繰り返し行う. 辺 BC に関する折り返しを \(T _ A\) , 辺 CA に関する折り返しを \(T _ B\) , 辺 AB に関する折り返しを \(T _ C\) とする. △ABC は, 最初 \(3\) 点 A , B , C がそれぞれ平面上の \(3\) 点 O , B' , C' の上に置かれているとする.
(1) \(T _ A , T _ C , T _ B , T _ C , T _ A\) の順に折り返し操作を施したときの頂点 A の移り先を P とする. \(T _ A , T _ C , T _ B , T _ A , T _ C , T _ B , T _ A\) の順に折り返し操作を施したときの頂点 A の移り先を Q とする. \(\theta = \angle \text{POQ}\) とするとき, \(\cos \theta\) の値を求めよ.
(2) 整数 \(k , l\) に対して, \(\overrightarrow{\text{OR}} = 3k \overrightarrow{\text{OB'}} +3l \overrightarrow{\text{OC'}}\) により定められる点 R は, \(T _ A , T _ B , T _ C\) の折り返し操作を組み合わせることにより, 点 A の移り先になることを示せ.
\(X , Y , Z\) と書かれたカードがそれぞれ \(1\) 枚ずつある. この中から \(1\) 枚のカードが選ばれたとき, \(xy\) 平面上の点 \(P\) を次の規則にしたがって移動する.
\(X\) のカードが選ばれたとき, \(P\) を \(x\) 軸の正方向に \(1\) だけ移動する.
\(Y\) のカードが選ばれたとき, \(P\) を \(y\) 軸の正方向に \(1\) だけ移動する.
\(Z\) のカードが選ばれたとき, \(P\) は移動せずそのままの位置にとどまる.
(1) \(n\) を正の整数とする. 最初, 点 \(P\) を原点の位置におく. \(X\) のカードと \(Y\) のカードの \(2\) 枚から無作為に \(1\) 枚を選び, \(P\) を, 上の規則にしたがって移動するという試行を \(n\) 回繰り返す.
(i) \(n\) 回の試行の後に \(P\) が到達可能な点の個数を求めよ.
(ii) \(P\) が到達する確率が最大の点をすべて求めよ.
(2) \(n\) を正の \(3\) の倍数とする. 最初, 点 \(P\) を原点の位置におく. \(X\) のカード, \(Y\) のカード, \(Z\) のカードの \(3\) 枚から無作為に \(1\) 枚を選び, \(P\) を, 上の規則にしたがって移動するという試行を \(n\) 回繰り返す.
(i) \(n\) 回の試行の後に \(P\) が到達可能な点の個数を求めよ.
(ii) \(P\) が到達する確率が最大の点をすべて求めよ.
実数 \(p , q , r\) に対して, \(3\) 次方程式 \(f(x)\) を \(f(x) = x^3 +px^2 +qx +r\) と定める. 実数 \(a , c\) および \(0\) でない実数 \(b\) に対して, \(a +bi\) と \(c\) はいずれも方程式 \(f(x) = 0\) の解であるとする. ただし \(i\) は虚数単位を表す.
(1) \(y = f(x)\) のグラフにおいて, 点 \(\left( a , f(a) \right)\) における接線の傾きを \(s(a)\) とし, 点 \(\left( c , f(c) \right)\) における接線の傾きを \(s(c)\) とする. \(a \neq c\) のとき, \(s(a)\) と \(s(c)\) の大小を比較せよ.
(2) さらに, \(a , c\) は整数であり, \(b\) は \(0\) でない整数であるとする. 次を証明せよ.
(i) \(p , q , r\) はすべて整数である.
(ii) \(p\) が \(2\) の倍数であり, \(q\) が \(4\) の倍数であるならば, \(a , b , c\) はすべて \(2\) の倍数である.