\(0\) から \(9\) までの相異なる整数が \(1\) つずつ書かれた \(10\) 個の球が, 袋の中に入っている. この袋から球を無作為に \(1\) 個取り出してはもとにもどす操作を \(3\) 回繰り返したとき, 取り出した球に書かれている数を順に \(a_1 , a_2 , a_3\) とする. また \(b_1 = 10 +a_1\) , \(b_2 = 20 +a_2\) , \(b_3 = 30 +a_3\) とおき, \(b_1 , b_2 , b_3 , b_1 +b_2 +b_3\) の \(1\) の位を四捨五入してえられる数をそれぞれ \(c_1 , c_2 , c_3 , c_4\) とする. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(b_1 +b_2 +b_3 = 70\) となる確率を求めよ.
(2) \(c_4 = 90\) となる確率を求めよ.
(3) \(c_1 = 20\) かつ \(c_1 +c_2 +c_3 \gt c_4\) となる確率を求めよ.
\(a , h\) を正の実数とし, \(xyz\) 空間の \(5\) 点 A \(( a , a , 0 )\) , B \(( -a , a , 0 )\) , C \(( -a , -a , 0 )\) , D \(( a , -a , 0 )\) , E \(( 0 , 0 , h )\) を頂点とする四角錐を \(P\) とする. \(P\) の \(yz\) 平面による断面の周の長さが \(1\) であるとき, 以下の各問いに答えよ.
(1) \(h\) を \(a\) の式で表せ. また, \(a\) が取り得る値の範囲を求めよ.
(2) 球 \(S\) は \(P\) のすべての面に接しているとする. \(a\) が (1) で求めた範囲を動くとき, \(S\) の体積が最大となる \(a\) の値を求めよ.
(3) 直方体 \(Q\) は \(1\) つの面が \(xy\) 平面上にあり, すべての頂点が \(P\) の辺上または面上にあるとする. \(a\) を固定したとき, \(Q\) の体積が取り得る値の最大値を \(V(a)\) とおく. \(a\) が (1) で求めた範囲を動くとき, \(V(a)\) の最大値を求めよ.
\(a , b\) を正の実数とし, 曲線 \(C : y = b \sqrt{1 +\dfrac{x^2}{a^2}}\) を考える. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(u\) を実数とし, \(C\) 上の点\(\left( u , b \sqrt{1 +\dfrac{u^2}{a^2}} \right)\) における接線の方程式を, \(a , b , u\) を用いて表せ.
(2) \(C\) 上の異なる \(2\) 点における接線の交点の全体からなる領域を図示せよ.
(3) (2) の領域にある点 \(( p , q )\) について, 点 \(( p , q )\) を通る \(C\) の接線の接点をすべて通る直線の方程式を, \(a , b , p , q\) を用いて表せ.
自然数 \(n\) に対して, \(n\) のすべての正の約数（ \(1\) と \(n\) を含む）の和を \(S(n)\) とおく. 例えば, \(S(9) = 1 +3 +9 = 13\) である. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(n\) が異なる素数 \(p\) と \(q\) によって \(n = p^2 q\) と表されるとき, \(S(n) = 2n\) を満たす \(n\) をすべて求めよ.
(2) \(a\) を自然数とする. \(n = 2^a -1\) が \(S(n) = n+1\) を満たすとき, \(a\) は素数であることを示せ.
(3) \(a\) を \(2\) 以上の自然数とする. \(n = 2^{a-1} \left( 2^a -1 \right)\) が \(S(n) \leqq 2n\) を満たすとき, \(n\) の \(1\) の位は \(6\) か \(8\) であることを示せ.
\(xyz\) 空間において連立不等式 \[ |x| \leqq 1 , \quad |y| \leqq 1 , \quad |z| \leqq 1 \] の表す領域を \(Q\) とし, 正の実数 \(r\) に対して \(x^2 +y^2 +z^2 \leqq r^2\) の表す領域を \(S\) とする. また, \(Q\) と \(S\) のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を \(R\) とし, \(R\) の体積を \(V(r)\) とする. さらに
\(x \geqq 1\) の表す領域と \(S\) の共通部分を \(S _ x\)
\(y \geqq 1\) の表す領域と \(S\) の共通部分を \(S _ y\)
\(z \geqq 1\) の表す領域と \(S\) の共通部分を \(S _ z\)
とし,
\(S _ x \neq \emptyset\) を満たす \(r\) の最小値を \(r _ 1\)
\(S _ x \cap S _ y \neq \emptyset\) を満たす \(r\) の最小値を \(r _ 2\)
\(S _ x \cap S _ y \cap S _ z \neq \emptyset\) を満たす \(r\) の最小値を \(r _ 3\)
とする. ただし, \(\emptyset\) は空集合を表す. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(r = \dfrac{\sqrt{10}}{3}\) のとき, \(R\) の \(xy\) 平面による断面を図示せよ.
(2) \(r _ 1 , r _ 2 , r _ 3\) および \(V( r _ 1 ) , V( r _ 3 )\) を求めよ.
(3) \(r \geqq r _ 1\) のとき, \(S _ x\) の体積を \(r\) を用いて表せ.
(4) \(0 \lt r \leqq r _ 2\) において, \(V(r)\) が最小となる \(r\) の値を求めよ.
関数 \(f(x) = \langle \! \langle x \rangle \! \rangle -2 \langle \! \langle x-1 \rangle \! \rangle +\langle \! \langle x-2 \rangle \! \rangle\) を考える. ここで, 実数 \(u\) に対して \(\langle \! \langle u \rangle \! \rangle = \dfrac{u +|u|}{2}\) とする. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(f(x)\) のグラフをかけ.
(2) \(g(x) = \displaystyle\int _ {0}^{1} f(x-t) \, dt\) とおくとき, \(g(x)\) の最大値を求めよ.
(3) (2) の \(g(x)\) に対して, \(p(s) = \displaystyle\int _ {0}^{3} (x-s)^2 g(x) \, dx\) とおくとき, \(p(s)\) の最小値を求めよ.
\(n\) を自然数, \(m\) を \(2n\) 以下の自然数とする. \(1\) から \(n\) までの自然数が \(1\) つずつ記されたカードが, それぞれの数に対して \(2\) 枚ずつ, 合計 \(2n\) 枚ある. この中から, \(m\) 枚のカードを無作為に選んだとき, それらに記された数がすべて異なる確率を \(P _ n (m)\) と表す. ただし \(P _ n (1) = 1\) とする. さらに, \(E _ n (m) = m P _ n (m)\) とおく. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(P _ 3 (2) , P _ 3 (3) , P _ 3 (4)\) を求めよ.
(2) \(E _ {10} (m)\) を最大にするような \(m\) を求めよ.
(3) 自然数 \(n\) に対し, \(E _ n (m) \gt E _ n (m+1)\) を満たす自然数 \(m\) の最小値を \(f(n)\) とするとき, \(f(n)\) を \(n\) を用いて表せ. ただし, ガウス記号 \([ \quad ]\) を用いてよい. ここで, 実数 \(x\) に対して, \(x\) を超えない最大の整数を \([x]\) と表す.
実数 \(a , b\) に対し, \(f(x) = x^3 -3ax +b\) とおく. \(-1 \leqq x \leqq 1\) における \(\left| f(x) \right|\) の最大値を \(M\) とする. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(a \gt 0\) のとき, \(f(x)\) の極値を \(a , b\) を用いて表せ.
(2) \(b \geqq 0\) のとき, \(M\) を \(a , b\) を用いて表せ.
(3) \(a , b\) が実数全体を動くとき, \(M\) のとりうる値の範囲を求めよ.