\(n\) を \(3\) 以上の整数とする. \(n\) 個の球 \(K _ 1 , K _ 2 , \cdots , K _ n\) と \(n\) 個の空の箱 \(H _ 1 , H _ 2 , \cdots , H _ n\) がある. 以下のように, \(K _ 1 , K _ 2 , \cdots , K _ n\) の順番に, 球を箱に \(1\) つずつ入れていく. まず, 球 \(K _ 1\) を箱 \(H _ 1 , H _ 2 , \cdots , H _ n\) のどれか \(1\) つに無作為に入れる. 次に球 \(K _ 2\) を, 箱 \(H _ 2\) が空ならば箱 \(H _ 2\) に入れ, 箱 \(H _ 2\) が空でなければ残りの \(n-1\) 個の空の箱のどれか \(1\) つに無作為に入れる. 一般に, \(i = 2, 3, \cdots , n\) について, 球 \(K _ i\) を, 箱 \(H _ i\) が空ならば箱 \(H _ i\) に入れ, 箱 \(H _ i\) が空でなければ残りの \(n-i+1\) 個の空の箱のどれか \(1\) つに無作為に入れる.

1. (1)　\(K _ n\) が入る箱は \(H _ 1\) または \(H _ n\) である. これを証明せよ.

2. (2)　\(K _ {n-1}\) が \(H _ {n-1}\) に入る確率を求めよ.

\(n\) を自然数とする. 関数 \(y = \sqrt{x}\) のグラフを \(C\) とし, \(C\) 上の \(2\) 点 \(( n , \sqrt{n})\) と \(( n+1 , \sqrt{n+1})\) を通る直線を \(l\) とする. \(C\) と \(l\) で囲まれた部分を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる立体の体積を \(V\) とする. このとき \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} n^a V = b\) を満たす正の数 \(a , b\) を求めよ.

次の問いに答えよ.

1. (1)　\(x\) が正の数のとき \(| \log x | \leqq \dfrac{|x-1|}{\sqrt{x}}\) を示せ.

2. (2)　\(p , q , r\) が \(p+q+r = 1\) を満たす正の数のとき \[ p^2+q^2+r^2 \geqq \dfrac{1}{3} \] を示せ.

3. (3)　\(a , b , c\) が相異なる正の数で, \(\sqrt{a} +\sqrt{b} +\sqrt{c} = 1\) を満たすとき \[ \dfrac{ab}{b-a} \log \dfrac{b}{a} +\dfrac{bc}{c-b} \log \dfrac{c}{b} +\dfrac{ca}{a-c} \log \dfrac{a}{c} \leqq \dfrac{1}{3} \] を示せ.

\(xy\) 平面において, 原点 O を通る半径 \(r \ ( r \gt 0 )\) の円を \(C\) とし, その中心を A とする. O を除く \(C\) 上の点 P に対し, 次の \(2\) つの条件 (a) , (b) で定まる点 Q を考える.

1. (a)　\(\overrightarrow{\text{OP}}\) と \(\overrightarrow{\text{OQ}}\) の向きが同じ.

2. (b)　\(\left| \overrightarrow{\text{OP}} \right| \left| \overrightarrow{\text{OQ}} \right| = 1\)

以下の問いに答えよ.

1. (1)　点 P が O を除く \(C\) 上を動くとき, 点 Q は \(\overrightarrow{\text{OA}}\) に直交する直線上を動くことを示せ.

2. (2)　(1) の直線を \(l\) とする. \(l\) が \(C\) と \(2\) 点で交わるとき, \(r\) のとりうる値の範囲を求めよ.

\(f(x) = x^3-x\) とし, \(t\) を実数とする. \(xy\) 平面において, 曲線 \(y = f(x)\) を \(C _ 1\) とし, 直線 \(x=t\) に関して \(C _ 1\) と対称な曲線 \[ y = f (2t-x) \] を \(C _ 2\) とする.

1. (1)　\(C _ 1\) と \(C _ 2\) が \(3\) 点で交わるとき, \(t\) のとりうる値の範囲を求めよ.

2. (2)　\(t\) が (1) で求めた範囲を動くとき, \(C _ 1\) と \(C _ 2\) で囲まれた部分の面積 \(S\) の最大値を求めよ.

\(n\) を \(2\) 以上の自然数とする. \(4\) 個の行列 \[\begin{align} A & = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) , \quad B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right) , \\ C & = \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right) , \quad D = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \ . \end{align}\] を重複を許して \(n\) 個並べたものを \[ M _ 1 , M _ 2 , \cdots , M _ n \ . \] とする.

1. (1)　積 \(M _ 1 M _ 2 \cdots M _ n\) が定義できる場合は何通りあるか. その数を \(n\) の式で表せ.

2. (2)　積 \(M _ 1 M _ 2 \cdots M _ n\) が定義できて, その積が零行列でない \(2 \times 3\) 行列となる場合は何通りあるか. その数を \(n\) の式で表せ.

3. (3)　積 \(M _ 1 M _ 2 \cdots M _ n\) が定義できて, その積が零行列とならない場合は何通りあるか. その数を \(n\) の式で表せ.

\(a \gt 0\) とする. \(C _ 1\) を曲線 \(x^2+\dfrac{y^2}{a^2} =1\) , \(C _ 2\) を直線 \(y=2ax-3a\) とする. このとき, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　点 P が \(C _ 1\) 上を動き, 点 Q が \(C _ 2\) 上を動くとき, 線分 PQ の長さの最小値を \(f(a)\) とする. \(f(a)\) を \(a\) を用いて表せ.

2. (2)　極限値 \(\displaystyle\lim _ {a \rightarrow \infty} f(a)\) を求めよ.

次の \(2\) つの条件 (i) , (ii) をみたす自然数 \(n\) について考える.

1. (i)　\(n\) は素数ではない.

2. (ii)　\(l , m\) を \(1\) でも \(n\) でもない \(n\) の正の約数とすると, 必ず \[ | l-m | \leqq 2 \] である.

このとき, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(n\) が偶数のとき, (i) , (ii) をみたす \(n\) をすべて求めよ.

2. (2)　\(n\) が \(7\) の倍数のとき, (i) , (ii) をみたす \(n\) をすべて求めよ.

3. (3)　\(2 \leqq n \leqq 1000\) の範囲で, (i) , (ii) をみたす \(n\) をすべて求めよ.