\(1, 2, 3, 4\) の数字が \(1\) つずつ書かれた \(4\) 枚のカードを用いて, 次の手順で \(5\) 桁の整数をつくる. まず \(1\) 枚を取り出して現れた数字を \(1\) の位とする. 取り出した \(1\) 枚を元に戻し, \(4\) 枚のカードをよく混ぜて, 再び \(1\) 枚を取り出して現れた数字を \(10\) の位とする. このような操作を \(5\) 回繰り返して, \(5\) 桁の整数をつくる. 得られた整数を \(X\) とするとき, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(X\) に数字 \(1\) がちょうど \(2\) 回現れる確率を求めよ.

2. (2)　\(X\) に数字 \(1\) と数字 \(2\) がちょうど \(1\) 回ずつ現れる確率を求めよ.

3. (3)　\(X\) にちょうど \(2\) 回現れる数字が \(1\) 種類以上ある確率を求めよ.

四面体 ABCD において, 辺 AB の中点を M , 辺 CD の中点を N とする. 以下の問いに答えよ.

1. (1)　等式 \[ \overrightarrow{\text{PA}} +\overrightarrow{\text{PB}} = \overrightarrow{\text{PC}} +\overrightarrow{\text{PD}} \] を満たす点 P は存在するか. 証明をつけて答えよ.

2. (2)　点 Q が等式 \[ \left| \overrightarrow{\text{QA}} +\overrightarrow{\text{QB}} \right| = \left| \overrightarrow{\text{QC}} +\overrightarrow{\text{QD}} \right| \] を満たしながら動くとき, 点 Q が描く図形を求めよ.

3. (3)　点 R が等式 \[ \left| \overrightarrow{\text{RA}} \right|^2 + \left| \overrightarrow{\text{RB}} \right|^2 = \left| \overrightarrow{\text{RC}} \right|^2 + \left| \overrightarrow{\text{RD}} \right|^2 \] を満たしながら動くとき, 内積 \(\overrightarrow{\text{MN}} \cdot \overrightarrow{\text{MR}}\) は R のとり方によらず一定であることを示せ.

4. (4)　(2) の点 Q が描く図形と (3) の点 R が描く図形が一致するための必要十分条件は \(\left| \overrightarrow{\text{AB}} \right| = \left| \overrightarrow{\text{CD}} \right|\) であることを示せ.

\(0 \lt t \lt 3\) のとき, 連立方程式 \[ \left\{ \begin{array}{l} 0 \leqq y \leqq \sin x \\ 0 \leqq x \leqq t-y \end{array} \right. \] の表す領域を \(x\) 軸のまわりに回転して得られる立体の体積を \(V(t)\) とする. \(\dfrac{d}{dt} V(t) = \dfrac{\pi}{4}\) となる \(t\) と, そのときの \(V(t)\) の値を求めよ.

\(xy\) 平面において, 原点を中心とし P \((1,0)\) を頂点の \(1\) つとする正 \(6\) 角形を \(X\) とする. \(A\) を \(2\) 次の正方行列とし, \(X\) の各頂点 \((x,y)\) に対して, 行列 \(A\) の表す移動 \[ \left( \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \] で得られる点 \((x' , y')\) は \(X\) の辺上の点（頂点を含む）であるとする. 以下の問いに答えよ.

1. (1)　点 P が行列 \(A\) の表す移動で P 自身に移るとき, \(X\) の各頂点は \(X\) のいずれかの頂点に移ることを示せ. また, そのときの行列 \(A\) を求めよ.

2. (2)　点 P が行列 \(A\) の表す移動で \(X\) のある頂点に移るとき, \(X\) の各頂点は \(X\) のいずれかの頂点に移ることを示せ. また, そのときの行列 \(A\) を求めよ.

実数 \(a\) に対し, 不等式 \[ y \leqq 2ax -a^2 +2a +2 \] の表す座標平面上の領域を \(D(a)\) とおく.

1. (1)　\(-1 \leqq a \leqq 2\) を満たすすべての \(a\) に対し \(D(a)\) の点となるような点 \((p,q)\) の範囲を図示せよ.

2. (2)　\(-1 \leqq a \leqq 2\) を満たすいずれかの \(a\) に対し \(D(a)\) の点となるような点 \((p,q)\) の範囲を図示せよ.

\(a\) を実数とする. 円 \(C\) は点 \((a, -a)\) で直線 \(y = -x\) を接線にもち, 点 \((0,1)\) を通るものとする. \(C\) の中心を P \((X,Y)\) として, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(X , Y\) を \(a\) を用いて表せ.

2. (2)　\(a\) が動くときの点Pの軌跡と直線 \(y = 1\) で囲まれる図形の面積を求めよ.

先生と \(3\) 人の生徒 A , B , C がおり, 玉の入った箱がある. 箱の中には最初, 赤玉 \(3\) 個, 白玉 \(7\) 個, 全部で \(10\) 個の玉が入っている. 先生がサイコロをふって, \(1\) の目が出たら A が, \(2\) または \(3\) の目が出たら B が, その他の目が出たら C が箱の中から \(1\) つだけ玉を取り出す操作を行う. 取り出した玉は箱の中に戻さず, 取り出した生徒のものとする. この操作を続けて行うものとして以下の問いに答えよ.
　ただし, サイコロの \(1\) から \(6\) の目の出る確率は等しいものとし, また, 箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする.

1. (1)　\(2\) 回目の操作が終わったとき, A が \(2\) 個の赤玉を手に入れている確率を求めよ.

2. (2)　\(2\) 回目の操作が終わったとき, B が少なくとも \(1\) 個の赤玉を手に入れている確率を求めよ.

3. (3)　\(3\) 回目の操作で, C が赤玉を取り出す確率を求めよ.

平面上に長さ \(3\) の線分 OA を考え, ベクトル \(\overrightarrow{\text{OA}}\) を \(\overrightarrow{a}\) で表す. \(0 \lt t \lt 1\) を満たす実数 \(t\) に対して, \(\overrightarrow{\text{OP}} = t \overrightarrow{a}\) となるように点 P を定める. 大きさ \(2\) のベクトル \(\overrightarrow{b}\) を \(\overrightarrow{a}\) と角 \(\theta \ ( 0 \lt \theta \lt \pi )\) をなすようにとり, 点 B を \(\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{b}\) で定める. 線分 OB の中点を Q とし, 線分 AQ と線分 BP の交点を R とする.
　このとき, どのように \(\theta\) をとっても \(\overrightarrow{\text{OR}}\) と \(\overrightarrow{\text{AB}}\) が垂直にならないような \(t\) の値の範囲を求めよ.