\(A =\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) で定める \(1\) 次変換を \(f\) とする. 原点 O \((0,0)\) と異なる任意の \(2\) 点 P, Q に対して \(\dfrac{\text{OP'}}{\text{OP}} =\dfrac{\text{OQ'}}{\text{OQ}}\) が成り立つ. ただし, P', Q' はそれぞれ P, Q の \(f\) による像を表す.

1. (1)　\(a^2+c^2 =b^2+d^2\) を示せ.

2. (2)　\(1\) 次変換 \(f\) により, 点 \((1, \sqrt{3})\) が点 \((-4,0)\) に移るとき, \(A\) を求めよ.

\(xyz\) 空間に \(4\) 点 P \((0,0,2)\) , A \((0,2,0)\) , B \((\sqrt{3},-1,0)\) , C \((-\sqrt{3},-1,0)\) をとる. 四面体 PABC の \(x^2+y^2 \geqq 1\) をみたす部分の体積を求めよ.

正の実数 \(a , b\) に対し, \(x \gt 0\) で定義された \(2\) つの関数 \(x^a , \ \log bx\) のグラフが \(1\) 点で接するとする.

1. (1)　接点の座標 \(( s , t )\) を \(a\) を用いて表せ. また, \(b\) を \(a\) の関数として表せ.

2. (2)　\(0 \lt h \lt s\) をみたす \(h\) に対し, 直線 \(x = h\) および \(2\) つの曲線 \(y = x^a , \ y = \log bx\) で囲まれる領域の面積を \(A(h)\) とする. \(\displaystyle\lim _ {h \rightarrow 0} A(h)\) を \(a\) で表せ.

実数 \(x\) に対し, \(x\) 以上の最小の整数を \(f(x)\) とする. \(a , b\) を正の実数とするとき, 極限 \[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} x^c \left( \dfrac{1}{f(ax-7)} -\dfrac{1}{f(bx+3)} \right) \] が収束するような実数 \(c\) の最大値と, そのときの極限値を求めよ.

いびつなサイコロがあり, \(1\) から \(6\) までのそれぞれの目が出る確率が \(\dfrac{1}{6}\) とは限らないとする. このサイコロを \(2\) 回ふったとき同じ目が出る確率を \(P\) とし, \(1\) 回目に奇数, \(2\) 回目に偶数の目が出る確率を \(Q\) とする.

1. (1)　\(P \geqq \dfrac{1}{6}\) であることを示せ. また, 等号が成立するための必要十分条件を求めよ.

2. (2)　\(\dfrac{1}{4} \geqq Q \geqq \dfrac{1}{2} -\dfrac{3}{2} P\) であることを示せ.

平面の原点 \(O\) を端点とし, \(x\) 軸となす角がそれぞれ \(\alpha , -\alpha \ \left( \text{ただし} \ 0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{3} \right)\) である半直線を \(L _ 1 , L _ 2\) とする. \(L _ 1\) 上に点 \(P\) , \(L _ 2\) 上に点 \(Q\) を線分 \(PQ\) の長さが \(1\) となるようにとり, 点 \(R\) を直線 \(PQ\) に対し原点 \(O\) の反対側に \(\triangle PQR\) が正三角形になるようにとる.

1. (1)　線分 \(PQ\) が \(x\) 軸と直交するとき, 点 \(R\) の座標を求めよ.

2. (2)　\(2\) 点 \(P , Q\) が, 線分 \(PQ\) の長さを \(1\) に保ったまま \(L _ 1 , L _ 2\) 上を動くとき, 点 \(R\) の軌跡はある楕円の一部であることを示せ.

点 \(P\) から放物線 \(y=\dfrac{1}{2} x^2\) へ \(2\) 本の接線が引けるとき, \(2\) つの接点を \(A , B\) とし, 線分 \(PA , PB\) およびこの放物線で囲まれる図形の面積を \(S\) とする. \(PA , PB\) が直交するときの \(S\) の最小値を求めよ.

実数 \(a\) に対し, 次の \(1\) 次変換 \[ f(x,y) = \left( ax+(a-2)y , (a-2)x+ay \right) \] を考える. 以下の \(2\) 条件をみたす直線 \(L\) が存在するような \(a\) を求めよ.

1. (1)　\(L\) は点 \((0, 1)\) を通る.

2. (2)　点 \(Q\) が \(L\) 上にあれば, その \(f\) による \(f(Q)\) も \(L\) 上にある.