\(N\) を正の整数とする. \(2N\) 以下の正の整数 \(m\) , \(n\) からなる組 \((m, n)\) で, 方程式 \(x^2-nx+m=0\) が \(N\) 以上の実数解をもつようなものは何組あるか.

\(xyz\) 空間の原点と点 \((1, 1, 1)\) を通る直線を \(\ell\) とする.

1. (1)　\(\ell\) 上の点 \(\left( \dfrac{t}{3} , \dfrac{t}{3} , \dfrac{t}{3} \right)\) を通り \(\ell\) と垂直な平面が, \(xy\) 平面と交わってできる直線の方程式を求めよ.

2. (2)　不等式 \(0 \leqq y \leqq x(1-x)\) の表す \(xy\) 平面内の領域を \(D\) とする. \(\ell\) を軸として \(D\) を回転させて得られる回転体の体積を求めよ.

\(f(x) = 1 -\cos x -x \sin x\) とする.

1. (1)　\(0 \lt x \lt \pi\) において, \(f(x) = 0\) は唯一の解を持つことを示せ.

2. (2)　\(J = \displaystyle\int _ 0^{\pi} \left| f(x) \right| \, dx\) とする. (1) の唯一の解を \(\alpha\) とするとき, \(J\) を \(\sin \alpha\) の式で表せ.

3. (3)　(2) で定義された \(J\) と \(\sqrt{2}\) の大小を比較せよ.

\(a\) を正の整数とする. 正の実数 \(x\) についての方程式 \[ \text{(＊)} \quad x = \left[ \dfrac{1}{2} \left( x + \dfrac{a}{x} \right) \right] \] が解を持たないような \(a\) を小さい順に並べたものを \(a _ 1 , a _ 2 , a _ 3 , \cdots\) とする. ここに \([ ]\) はガウス記号で, 実数 \(u\) に対し, \([ u ]\) は \(u\) 以下の最大の整数を表す.

1. (1)　\(a = 7 , 8 , 9\) の各々について (＊) の解があるかどうかを判定し, ある場合は解 \(x\) を求めよ.

2. (2)　\(a _ 1 , a _ 2\) を求めよ.

3. (3)　\(\textstyle\sum\limits _ {n=1}^{\infty} \dfrac{1}{a _ n}\) を求めよ.

\(1\) から \(n\) までの数字がもれなく一つずつ書かれた \(n\) 枚のカードの束から同時に \(2\) 枚のカードを引く. このとき, 引いたカードの数字のうち小さいほうが \(3\) の倍数である確率を \(p(n)\) とする.

1. (1)　\(p(8)\) を求めよ.

2. (2)　正の整数 \(k\) に対し, \(p(3k+2)\) を \(k\) で表せ.

\(a\) を正の定数とする. 原点を \(O\) とする座標平面上に定点 \(A = A \ ( a, 0 )\) と, \(A\) と異なる動点 \(P = P \ ( x, y )\) をとる. 次の条件
　　\(A\) から \(P\) に向けた半直線上の点 \(Q\) に対し \[ \dfrac{AQ}{AP} \leqq 2 \ \text{ならば} \ \dfrac{QP}{OQ} \leqq \dfrac{AP}{OA} \] を満たす \(P\) からなる領域を \(D\) とする. \(D\) を図示せよ.

\(n\) を自然数とする. \(xy\) 平面上で行列 \(\left( \begin{array}{cc} 1-n & 1 \\ -n( n+1 ) & n+2 \end{array} \right)\) の表す \(1\) 次変換（移動ともいう）を \(f _ n\) とする. 次の問に答えよ.

1. (1)　原点 O \(( 0 , 0 )\) を通る直線で, その直線上のすべての点が \(f _ n\) により同じ直線上に移されるものが \(2\) 本あることを示し, この \(2\) 直線の方程式を求めよ.

2. (2)　(1) で得られた \(2\) 直線と曲線 \(y = x^2\) によって囲まれる図形の面積 \(S _ n\) を求めよ.

3. (3)　\(\textstyle\sum\limits _ {n=1}^{\infty} \dfrac{1}{S _ n -\frac{1}{6}}\) を求めよ.

実数 \(x\) に対して, \(f(x) = \displaystyle\int _ 0^{\frac{\pi}{2}} \left| \cos t -x \sin 2t \right| \, dt\) とおく.

1. (1)　関数 \(f(x)\) の最小値を求めよ.

2. (2)　定積分 \(\displaystyle\int _ 0^1 f(x) \, dx\) を求めよ.