以下の命題 A , B それぞれに対し, その真偽を述べよ. また, 真ならば証明を与え, 偽ならば反例を与えよ.

1. 命題 A　\(n\) が正の整数ならば, \(\dfrac{n^3}{26} +100 \geqq n^2\) が成り立つ.

2. 命題 B　整数 \(n , m , \ell\) が \(5n +5m +3 \ell = 1\) をみたすならば, \(10nm +3m \ell +3n \ell \lt 0\) が成り立つ.

座標平面上の \(2\) 点 A \(( -1 , 1 )\) , B \(( 1 , -1 )\) を考える. また, P を座標平面上の点とし, その \(x\) 座標の絶対値は \(1\) 以下であるとする. 次の条件 (i) または (ii) をみたす点 P の範囲を図示し, その面積を求めよ.

1. (i)　頂点の \(x\) 座標の絶対値が \(1\) 以上の \(2\) 次関数のグラフで, 点 A , P , B をすべて通るものがある.

2. (ii)　点 A , P , B は同一直線上にある.

\(\ell\) を座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする. さらに, 以下の \(3\) 条件 (i) , (ii) , (iii) で定まる円 \(C _ 1 , C _ 2\) を考える.

1. (i)　円 \(C _ 1 , C _ 2\) は \(2\) つの不等式 \(x \geqq 0\) , \(y \geqq 0\) で定まる領域に含まれる.

2. (ii)　円 \(C _ 1 , C _ 2\) は直線 \(\ell\) と同一点で接する.

3. (iii)　円 \(C _ 1\) は \(x\) 軸と点 \(( 1 , 0 )\) で接し, 円 \(C _ 2\) は \(y\) 軸と接する.

円 \(C _ 1\) の半径を \(r _ 1\) , 円 \(C _ 2\) の半径を \(r _ 2\) とする. \(8 r _ 1 +9 r _ 2\) が最小となるような直線 \(\ell\) の方程式と, その最小値を求めよ.

投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ \(\dfrac{1}{2}\) のコインを \(1\) 枚用意し, 次のように左から順に文字を書く.
コインを投げ, 表が出たときは文字列 A A を書き, 裏が出たときは文字 B を書く. さらに繰り返しコインを投げ, 同じ規則に従って, A A, B をすでにある文字列の右側につなげて書いていく.
たとえば, コインを \(5\) 回投げ, その出た目が順に表, 裏, 裏, 表, 裏であったとすると, 得られる文字列は \[ \text{A A B B A A B} \] となる. このとき, 左から \(4\) 番目の文字は B, \(5\) 番目の文字は A である.

1. (1)　\(n\) を正の整数とする. \(n\) 回コインを投げ, 文字列をつくるとき, 文字列の左から \(n\) 番目の文字が A となる確率を求めよ.

2. (2)　\(n\) を \(2\) 以上の整数とする. \(n\) 回コインを投げ, 文字列を作るとき, 文字列の左から \(n-1\) 番目の文字が A で, かつ \(n\) 番目の文字が B となる確率を求めよ.

以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(t\) を実数の定数とする. 実数全体を定義域とする関数 \(f(x)\) を \[ f(x) = -2x^2 +8tx -12x +t^3 -17t^2 +39t -18 \] と定める. このとき, 関数 \(f(x)\) の最大値を \(t\) を用いて表せ.

2. (2)　(1) の「関数 \(f(x)\) の最大値」を \(g(t)\) とする. \(t\) が \(t \geqq -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) の範囲を動くとき, \(g(t)\) の最小値を求めよ.

\(a\) を自然数（すなわち \(1\) 以上の整数）の定数とする. 白球と赤球があわせて \(1\) 個以上入っている袋 U に対して, 次の操作 (＊) を考える.

1. (＊)　袋 U から球を \(1\) 個取り出し,

   1. (i)　取り出した球が白球のときは, 袋 U の中身が白球 \(a\) 個, 赤球 \(1\) 個となるようにする.

   2. (ii)　取り出した球が赤球のときは, その球を袋 U へ戻すことなく, 袋 U の中身はそのままにする.

はじめに袋 U の中に, 白球が \(a+2\) 個, 赤球が \(1\) 個入っているとする. この袋 U に対して操作 (＊) を繰り返し行う. たとえば, \(1\) 回目の操作で白球が出たとすると, 袋 U の中身は白球 \(a\) 個, 赤球 \(1\) 個となり, さらに \(2\) 回目の操作で赤球が出たとすると, 袋 U の中身は白球 \(a\) 個のみとなる. \(n\) 回目に取り出した球が赤球である確率を \(p _ n\) とする. ただし, 袋 U の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする.

1. (1)　\(p _ 1\) , \(p _ 2\) を求めよ.

2. (2)　\(n \geqq 3\) に対して \(p _ n\) を求めよ.

座標平面の原点を O で表す.
線分 \(y = \sqrt{3} x \quad ( 0 \leqq x \leqq 2 )\) 上の点 P と, 線分 \(y = -\sqrt{3} x \quad ( -3 \leqq x \leqq 0 )\) 上の点 Q が, 線分 OP と線分 OQ の長さの和が \(6\) となるように動く. このとき, 線分 PQ の通過する領域を \(D\) とする.

1. (1)　\(s\) を \(-3 \leqq s \leqq 2\) をみたす実数とするとき, 点 \((s,t)\) が \(D\) に入るような \(t\) の範囲を求めよ.

2. (2)　\(D\) を図示せよ.

\(r\) を \(0\) 以上の整数とし, 数列 \(\{ a _ n \}\) を次のように定める. \[\begin{align} & a _ 1 = r , \quad a _ 2 = r+1 , \\ & a _ {n+2} = a _ {n+1} ( a _ n +1 ) \quad ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) \end{align}\] また, 素数 \(p\) を \(1\) つとり, \(a _ n\) を \(p\) で割った余りを \(b _ n\) とする. ただし, \(0\) を \(p\) で割った余りは \(0\) とする.

1. (1)　自然数 \(n\) に対し, \(b _ {n+2}\) は \(b _ {n+1} ( b _ n +1 )\) を \(p\) で割った余りと一致することを示せ.

2. (2)　\(r=2\) , \(p=17\) の場合に, \(10\) 以下のすべての自然数 \(n\) に対して, \(b _ n\) を求めよ.

3. (3)　ある \(2\) つの相異なる自然数 \(n , m\) に対して, \[ b _ {n+1} = b _ {m+1} \gt 0 , \quad b _ {n+2} = b _ {m+2} \] が成り立つとする. このとき \(b _ n = b _ m\) が成り立つことを示せ.