\(0 \leqq \alpha \leqq \beta\) をみたす実数 \(\alpha , \beta\) と, \(2\) 次式 \(f(x) = x^2 -( \alpha +\beta )x + \alpha \beta\) について, \[ \displaystyle\int _ {-1}^1 f(x) \, dx = 1 \] が成立しているとする. このとき定積分 \[ S = \displaystyle\int _ {0}^{\alpha} f(x) \, dx \] を \(\alpha\) の式で表し, \(S\) がとりうる値の最大値を求めよ.
白黒 \(2\) 種類のカードがたくさんある. そのうち \(k\) 枚のカードを手もとにもっているとき, 次の操作 (A) を考える.
以下の問 (1) , (2) に答えよ.
(1) 最初に白 \(2\) 枚, 黒 \(2\) 枚, 合計 \(4\) 枚のカードをもっているとき, 操作 (A) を \(n\) 回繰り返した後に初めて, \(4\) 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ.
(2) 最初に白 \(3\) 枚, 黒 \(3\) 枚, 合計 \(6\) 枚のカードをもっているとき, 操作 (A) を \(n\) 回繰り返した後に初めて, \(6\) 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ.
座標平面上の \(3\) 点 A \((1,0)\) , B \((-1,0)\) , C \((0,-1)\) に対し, \[ \angle \text{APC} = \angle \text{BPC} \] をみたす点 P の軌跡を求めよ. ただし \(\text{P} \neq \text{A, B, C}\) とする.
\(p\) を自然数とする. 次の関係式で定められる数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \}\) を考える. \[ \left\{ \begin{array}{ll} a _ 1 = p , \ b _ 1 = p+1 & \\ a _ {n+1} = a _ n + p b _ n & ( n = 1, 2, 3 , \cdots ) \\ b _ {n+1} = p a _ n + (p+1) b _ n & ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \end{array} \right. \]
(1) \(n = 1, 2, 3, \cdots\) に対し, 次の \(2\) つの数がともに \(p^3\) で割り切れることを示せ. \[ a _ n -\dfrac{n(n-1)}{2}p^2 -np , \ b _ n -n(n-1)p^2 -np -1 \]
(2) \(p\) を \(3\) 以上の奇数とする. このとき, \(a _ p\) は \(p^2\) で割り切れるが, \(p^3\) では割り切れないことを示せ.
座標平面において原点を中心とする半径 \(2\) の円を \(C _ 1\) とし, 点 \((1,0)\) を中心とする半径 \(1\) の円を \(C _ 2\) とする. また, 点 \((a,b)\) を中心とする半径 \(t\) の円が \(C _ 3\) が, \(C _ 1\) に内接し, かつ \(C _ 2\) に外接すると仮定する. ただし, \(b\) は正の実数とする.
(1) \(a , b\) を \(t\) を用いて表せ. また, \(t\) がとり得る値の範囲を求めよ.
(2) \(t\) が (1) で求めた範囲を動くとき, \(b\) の最大値を求めよ.
自然数 \(m \geqq 2\) に対し, \(m-1\) 個の二項係数 \[ {} _ {m} \text{C} {} _ {1} , {} _ {m} \text{C} {} _ {2} , \cdots , {} _ {m} \text{C} {} _ {m-1} \] を考え, これらのすべての最大公約数を \(d _ m\) とする. すなわち \(d _ m\) はこれらすべてを割り切る最大の自然数である.
(1) \(m\) が素数ならば, \(d _ m=m\) であることを示せ.
(2) すべての自然数 \(k\) に対し, \(k^m-k\) が \(d _ m\) で割り切れることを, \(k\) に関する数学的帰納法によって示せ.
スイッチを \(1\) 回押すごとに, 赤, 青, 黄, 白のいずれかの色の玉が \(1\) 個, 等確率 \(\dfrac{1}{4}\) で出てくる機械がある. \(2\) つの箱 L と R を用意する. 次の \(3\) 種類の操作を考える.
(A) \(1\) 回スイッチを押し, 出てきた玉を L に入れる.
(B) \(1\) 回スイッチを押し, 出てきた玉を R に入れる.
(C) \(1\) 回スイッチを押し, 出てきた玉と同じ色の玉が, L になければその玉を L に入れ, L にあればその玉を R に入れる.
(1) L と R は空であるとする. 操作 (A) を \(5\) 回おこない, さらに操作 (B) を \(5\) 回おこなう. このとき L にも R にも \(4\) 色すべての玉が入っている確率 \(\text{P}{} _ 1\) を求めよ.
(2) L と R は空であるとする. 操作 (C) を \(5\) 回おこなう. このとき L に \(4\) 色すべての玉が入っている確率 \(\text{P}{} _ 2\) を求めよ.
(3) L と R は空であるとする. 操作 (C) を \(10\) 回おこなう. このとき L にも R にも \(4\) 色すべての玉が入っている確率を \(\text{P}{} _ 3\) とする. \(\dfrac{\text{P}{} _ 3}{\text{P}{} _ 1}\) を求めよ.
\(2\) 次以下の整式 \(f(x) = ax^2+bx+c\) に対し \[ S = \displaystyle\int _ 0^2 \left| f'(x) \right| \, dx \] を考える.
(1) \(f(0) = 0\) , \(f(2) = 2\) のとき \(S\) を \(a\) の関数として表せ.
(2) \(f(0) = 0\) , \(f(2) = 2\) をみたしながら \(f\) が変化するとき, \(S\) の最小値を求めよ.