\(a , b\) を実数とする. 座標平面上の放物線 \[ C \ : \ y = x^2 +ax +b \] は放物線 \(y = -x^2\) と \(2\) つの共有点を持ち, 一方の共有点の \(x\) 座標は \(-1 \lt x \lt 0\) を満たし, 他方の共有点の \(x\) 座標は \(0 \lt x \lt -1\) を満たす.

1. (1)　点 \(( a , b )\) のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ.

2. (2)　放物線 \(C\) の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ.

複素数 \(a , b, c\) に対して整式 \(f(z) = az^2 +bz +c\) を考える. \(i\) を虚数単位とする.

1. (1)　\(\alpha , \beta , \gamma\) を複素数とする. \(f( 0 ) = \alpha\) , \(f( 1 ) = \beta\) , \(f(i) = \gamma\) が成り立つとき, \(a , b , c\) をそれぞれ \(\alpha , \beta , \gamma\) で表せ.

2. (2)　\(f(0) , f(1) , f(i)\) がいずれも \(1\) 以上 \(2\) 以下の実数であるとき, \(f(2)\) のとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ.

関数 \[ f(x) = \dfrac{x}{x^2 +3} \] に対して, \(y = f(x)\) のグラフを \(C\) とする. 点 A \(( 1 , f(1) )\) における \(C\) の接線を \[ \ell \ : \ y = g(x) \] とする.

1. (1)　\(C\) と \(\ell\) の共有点で A と異なるものがただ \(1\) つ存在することを示し, その点の \(x\) 座標を求めよ.

2. (2)　(1) で求めた共有点の \(x\) 座標を \(\alpha\) とする. 定積分 \[ \displaystyle\int _ {\alpha}^{1} \left\{ f(x) -g(x) \right\}^2 \, dx \] を計算せよ.

以下の問に答えよ.

1. (1)　正の奇数 \(K , L\) と正の整数 \(A , B\) が \(KA = LB\) を満たしているとする. \(K\) を \(4\) で割った余りが \(L\) を \(4\) で割った余りと等しいならば, \(A\) を \(4\) で割った余りは \(B\) を \(4\) で割った余りと等しいことを示せ.

2. (2)　正の整数 \(a , b\) が \(a \gt b\) を満たしているとする. このとき, \(A = {} _ {4a+1} \text{C} {} _ {4b+1}\) , \(B = {} _ {a} \text{C} {} _ {b}\) に対して \(KA =LB\) となるような正の奇数 \(K , L\) が存在することを示せ.

3. (3)　\(a , b\) は (2) の通りとし, さらに \(a-b\) が \(2\) で割り切れるとする. \({} _ {4a+1} \text{C} {} _ {4b+1}\) を \(4\) で割った余りは \({} _ {a} \text{C} {} _ {b}\) を \(4\) で割った余りと等しいことを示せ.

4. (4)　\({} _ {2021} \text{C} {} _ {37}\) を \(4\) で割った余りを求めよ.

\(\alpha\) を正の実数とする. \(0 \leqq \theta \leqq \pi\) における \(\theta\) の関数 \(f( \theta )\) を, 座標平面上の \(2\) 点 A \(( -\alpha , -3 )\) , P \(( \theta +\sin \theta , \cos \theta )\) 間の距離 AP の \(2\) 乗として定める.

1. (1)　\(0 \lt \theta \lt \pi\) の範囲に \(f'( \theta ) = 0\) となる \(\theta\) がただ \(1\) つ存在することを示せ.

2. (2)　以下が成り立つような \(\alpha\) の範囲を求めよ.

   1. \(0 \leqq \theta \leqq \pi\) における \(\theta\) の関数 \(f( \theta )\) は, 区間 \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) のある点において最大になる.

定数 \(b , c , p , q , r\) に対し, \[ x^4 +bx +c = ( x^2 +px +q ) ( x^2 -px +r ) \] が \(x\) についての恒等式であるとする.

1. (1)　\(p \neq 0\) であるとき, \(q , r\) を \(p , b\) で表せ.
2. (2)　\(p \neq 0\) とする. \(b , c\) が定数 \(a\) を用いて \[ b = ( a^2 +1 ) (a+2) , \quad c = -\left( a +\dfrac{3}{4} \right) ( a^2 +1 ) \] と表されているとき, 有理数を係数とする \(t\) についての整式 \(f(t)\) と \(g(t)\) で \[ \{ p^2 -( a^2 +1 ) \} \{ p^4 +f(a) p^2 +g(a) \} = 0 \] を満たすものを \(1\) 組求めよ.
3. (3)　\(a\) を整数とする. \(x\) の \(4\) 次式 \[ x^4 +( a^2 +1 ) (a+2) x -\left( a +\dfrac{3}{4} \right) ( a^2 +1 ) \] が有理数を係数とする \(2\) 次式の積に因数分解できるような \(a\) をすべて求めよ.

\(e\) を自然対数の底, すなわち \(e = \displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} \left( 1 +\dfrac{1}{t} \right)^t\) とする. すべての正の実数 \(x\) に対し, 次の不等式が成り立つことを示せ. \[ \left( 1 +\dfrac{1}{x} \right)^x \lt e \lt \left( 1 +\dfrac{1}{x} \right)^{x +\frac{1}{2}} \]

A , B , C の \(3\) つのチームが参加する野球の大会を開催する. 以下の方式で試合を行い, \(2\) 連勝したチームが出た時点で, そのチームを優勝チームとして大会は終了する.

1. (a)　\(1\) 試合目で A と B が対戦する.

2. (b)　\(2\) 試合目で, \(1\) 試合目の勝者と, \(1\) 試合目で待機していた C が対戦する.

3. (c)　\(k\) 試合目で優勝チームが決まらない場合は, \(k\) 試合目の勝者と \(k\) 試合目で待機していたチームが \(k+1\) 試合目で対戦する. ここで \(k\) は \(2\) 以上の整数とする.

なお, すべての対戦において, それぞれのチームが勝つ確率は \(\dfrac{1}{2}\) で, 引き分けはないものとする.

1. (1)　\(n\) を \(2\) 以上の整数とする. ちょうど \(n\) 試合目で A が優勝する確率を求めよ.

2. (2)　\(m\) を正の整数とする. 総試合数が \(3m\) 回以下で A が優勝したとき, A の最後の対戦相手が B である条件付き確率を求めよ.