\(a\) を \(1 \lt a \lt 3\) をみたす実数とし, 座標空間内の \(4\) 点 \(\text{P} {} _ 1 \ ( 1 , 0 , 1 )\) , \(\text{P} {} _ 2 \ ( 1 , 1 , 1 )\) , \(\text{P} {} _ 3 \ ( 1 , 0 , 3 )\) , \(\text{Q} \ ( 0 , 0 , a )\) を考える. 直線 \(\text{P} {} _ 1 \text{Q}\) , \(\text{P} {} _ 2 \text{Q}\) , \(\text{P} {} _ 3 \text{Q}\) と \(xy\) 平面の交点をそれぞれ \(\text{R} {} _ 1\) , \(\text{R} {} _ 2\) , \(\text{R} {} _ 3\) として, 三角形 \(\text{R} {} _ 1 \text{R} {} _ 2 \text{R} {} _ 3\) の面積を \(S(a)\) とする. \(S(a)\) を最小にする \(a\) と, そのときの \(S(a)\) の値を求めよ.

\(z\) を複素数とする. 複素数平面上の \(3\) 点 \(\text{A} ( 1 )\) , \(\text{B} ( z )\) , \( \text{C} ( z^2 )\) が 鋭角三角形をなすような \(z\) の範囲を求め, 図示せよ.

\(k\) を正の整数とし, \(10\) 進法で表された小数点以下 \(k\) 桁の実数 \[ 0 . a _ 1 a _ 2 \cdots a _ k = \dfrac{a _ 1}{10} +\dfrac{a _ 2}{10^2} +\cdots +\dfrac{a _ k}{10^k} \] を \(1\) つとる. ここで, \(a _ 1 , a _ 2 , \cdots , a _ k\) は \(0\) から \(9\) までの整数で, \(a _ k \neq 0\) とする.

1. (1)　次の不等式をみたす正の整数 \(n\) をすべて求めよ. \[ 0 . a _ 1 a _ 2 \cdots a _ k \leqq \sqrt{n} -10^k \lt 0. a _ 1 a _ 2 \cdots a _ k +10^{-k} \]

2. (2)　\(p\) が \(5 \cdot 10^{k-1}\) 以上の整数ならば, 次の不等式をみたす正の整数 \(m\) が存在することを示せ. \[ 0 . a _ 1 a _ 2 \cdots a _ k \leqq \sqrt{m} -p \lt 0. a _ 1 a _ 2 \cdots a _ k +10^{-k} \]

3. (3)　実数 \(x\) に対し, \(r \leqq x \lt r+1\) をみたす整数 \(r\) を \([x]\) で表す. \(\sqrt{s} -\left[ \sqrt{s} \right] = 0 . a _ 1 a _ 2 \cdots a _ k\) をみたす正の整数 \(s\) は存在しないことを示せ.

座標空間内を, 長さ \(2\) の線分 AB が次の \(2\) 条件 (a) , (b) をみたしながら動く.

1. (a)　点 A は平面 \(z=0\) 上にある.

2. (b)　点 C \(( 0 , 0 , 1 )\) が線分 AB 上にある.

このとき, 線分 AB が通過することのできる範囲を \(K\) とする. \(K\) と不等式 \(z \geqq 1\) の表す範囲との共通部分の体積を求めよ.

正の実数 \(a\) に対して, 座標平面上で次の放物線を考える. \[ C \ : \ y = ax^2 +\dfrac{1 -4a^2}{4a} \] \(a\) が正の実数全体を動くとき, \(C\) の通過する領域を図示せよ.

どの目も出る確率が \(\dfrac{1}{6}\) のさいころを \(1\) つ用意し, 次のように左から順に文字を書く.
さいころを投げ, 出た目が \(1, 2, 3\) のときは文字列 A A を書き, \(4\) のときは文字 B を, \(5\) のときは文字 C を, \(6\) のときは文字 D を書く. さらに繰り返しさいころを投げ, 同じ規則に従って, A A, B, C, D をすでにある文字列の右側につなげて書いていく.
たとえば, さいころを \(5\) 回投げ, その出た目が順に \(2, 5, 6, 3, 4\) であったとすると, 得られる文字列は \[ \text{A A C D A A B} \] となる. このとき, 左から \(4\) 番目の文字は D, \(5\) 番目の文字は A である.

1. (1)　\(n\) を正の整数とする. \(n\) 回さいころを投げ, 文字列をつくるとき, 文字列の左から \(n\) 番目の文字が A となる確率を求めよ.

2. (2)　\(n\) を \(2\) 以上の整数とする. \(n\) 回さいころを投げ, 文字列を作るとき, 文字列の左から \(n-1\) 番目の文字が A で, かつ \(n\) 番目の文字が B となる確率を求めよ.

\(a\) を正の実数とし, \(p\) を正の有理数とする.
座標平面上の \(2\) つの曲線 \(y = ax^p \ ( x \gt 0 )\) と \(y = \log x \ ( x \gt 0 )\) を考える. この \(2\) つの曲線の共有点が \(1\) 点のみであるとし, その共有点をQとする.
以下の問いに答えよ. 必要であれば, \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} \dfrac{x^p}{\log x} = \infty\) を証明なしに用いてもよい.

1. (1)　\(a\) および点 Q の \(x\) 座標を \(p\) を用いて表せ.

2. (2)　この \(2\) つの曲線と \(x\) 軸で囲まれる図形を, \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体の体積を \(p\) を用いて表せ.

3. (3)　(2) で得られる立体の体積が \(2 \pi\) になるときの \(p\) の値を求めよ.

数列 \(\{ p _ n \}\) を次のように定める. \[ p _ 1 = 1 , \ p _ 2 = 2 , \ p _ {n+2} = \dfrac{{p _ {n+1}^2 +1}}{p _ n} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \]

1. (1)　\(\dfrac{{p _ {n+1}}^2 +{p _ n}^2 +1}{p _ {n+1} p _ n}\) が \(n\) によらないことを示せ.

2. (2)　すべての \(n = 2, 3, 4, \cdots\) に対し, \(p _ {n+1} +p _ {n-1}\) を \(p _ n\) のみを使って表せ.

3. (3)　数列 \(\{ q _ n \}\) を次のように定める. \[ q _ 1 = 1 , \ q _ 2 = 1 , \ q _ {n+2} = q _ {n+1} +q _ n \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] すべての \(n = 1, 2, 3, \cdots\) に対し, \(p _ n = q _ {2n-1}\) を示せ.