\(n\) を \(2\) 以上の整数とする. 自然数（ \(1\) 以上の整数）の \(n\) 乗になる数を \(n\) 乗数と呼ぶことにする. 以下の問いに答えよ.

1. (1)　連続する \(2\) 個の自然数の積は \(n\) 乗数でないことを示せ.

2. (2)　連続する \(n\) 個の自然数の積は \(n\) 乗数でないことを示せ.

行列 \(A =\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) が次の条件 (D) を満たすとする.

1. (D)　\(A\) の成分 \(a , b , c , d\) は整数である. また, 平面上の \(4\) 点 \((0, 0)\) , \((a, b)\) , \((a+c, b+d)\) , \((c, d)\) は面積 \(1\) の平行四辺形の \(4\) つの頂点をなす.

\(B = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) とおく. 次の問いに答えよ.

1. (1)　行列 \(BA\) と \(B^{-1}A\) も条件 (D) を満たすことを示せ.

2. (2)　\(c=0\) ならば, \(A\) に \(B\) , \(B^{-1}\) のどちらかを左から次々にかけることにより, \(4\) 個の行列 \(\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) , \(\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) , \(\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)\) , \(\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)\) のどれかにできることを示せ.

3. (3)　\(|a| \geqq |c| >0\) とする. \(BA\) , \(B^{-1}A\) の少なくともどちらか一方は, それを \(\left( \begin{array}{cc} x & y \\ z & w \end{array} \right)\) とすると \[ |x|+|z| \lt |a|+|c| \] を満たすことを示せ.

\(2 \times 2\) 行列 \(P =\left( \begin{array}{cc} p & q \\ r & s \end{array} \right)\) に対して \[ \text{Tr}(P) =p+s \] と定める.
　\(a , b , c\) は \(a \geqq b >0\) , \(0 \leqq c \leqq 1\) を満たす実数とする. 行列 \(A , B , C , D\) を次で定める. \[\begin{align} A & = \left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & b \end{array} \right) , \quad B =\left( \begin{array}{cc} b & 0 \\ 0 & a \end{array} \right) , \\ C & =\left( \begin{array}{cc} a^c & 0 \\ 0 & b^c \end{array} \right) , \quad D = \left( \begin{array}{cc} b^{1-c} & 0 \\ 0 & a^{1-c} \end{array} \right) \end{align}\] また実数 \(x\) に対し \(U(x) =\left( \begin{array}{cc} \cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x \end{array} \right)\) とする.
　このとき以下の問いに答えよ.

1. (1)　各実数 \(t\) に対して, \(x\) の関数 \[ f(x) = \text{Tr} \left( \left( U(t) A U(-t) -B \right) U(x) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) U(-x) \right) \] の最大値 \(m(t)\) を求めよ. （最大値をとる \(x\) を求める必要はない. ）

2. (2)　すべての実数 \(t\) に対し \[ 2 \text{Tr} \left( U(t) C U(-t) D \right) \geqq \text{Tr} \left( U(t) A U(-t) +B \right) -m(t) \] が成り立つことを示せ.

座標平面の点 \((x,y)\) を \(( 3x+y , -2x )\) へ移す移動 \(f\) を考え, 点 P が移る先を \(f( \text{P} )\) と表す. \(f\) を用いて直線 \(l _ 0 , l _ 1 , l _ 2 , \cdots\) を以下のように定める.

• \(l _ 0\) は直線 \(3x+2y=1\) である.

• 点 P が \(l _ n\) 上を動くとき, \(f( \text{P} )\) が描く直線を \(l _ {n+1}\) とする（ \(n =0, 1, 2, \cdots\) ）.

1. (1)　\(a _ {n+1} , b _ {n+1}\) を \(a _ {n} , b _ {n}\) で表せ.

2. (2)　不等式 \(a _ {n} x +b _ {n} y \gt 1\) が定める領域を \(D _ n\) とする. \(D _ 0 , D _ 1 , D _ 2 , \cdots\) すべてに含まれるような点の範囲を図示せよ.

白黒 \(2\) 種類のカードがたくさんある. そのうち \(k\) 枚のカードを手もとにもっているとき, 次の操作 (A) を考える.

1. (A)　手持ちの \(k\) 枚の中から \(1\) 枚を, 等確率 \(\dfrac{1}{k}\) で選び出し, それを違う色のカードにとりかえる.

以下の問 (1) , (2) に答えよ.

1. (1)　最初に白 \(2\) 枚, 黒 \(2\) 枚, 合計 \(4\) 枚のカードをもっているとき, 操作 (A) を \(n\) 回繰り返した後に初めて, \(4\) 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ.

2. (2)　最初に白 \(3\) 枚, 黒 \(3\) 枚, 合計 \(6\) 枚のカードをもっているとき, 操作 (A) を \(n\) 回繰り返した後に初めて, \(6\) 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ.

1. (1)　正八面体のひとつの面を下にして水平な台の上に置く. この八面体を真上から見た図（平面図）を描け.

2. (2)　正八面体の互いに平行な \(2\) つの面をとり, それぞれの面の重心を \(\text{G} {} _ 1 , \text{G} {} _ 2\) とする. \(\text{G} {} _ 1 , \text{G} {} _ 2\) を通る直線を軸としてこの八面体を \(1\) 回転させてできる立体の体積を求めよ. ただし八面体は内部も含むものとし, 各辺の長さは \(1\) とする.

放物線 \(y=x^2\) 上に2点 P , Q がある. 線分 PQ の中点の \(y\) 座標を \(h\) とする.

1. (1)　線分 PQ の長さ \(L\) と傾き \(m\) で, \(h\) で表せ.

2. (2)　\(L\) を固定したとき, \(h\) がとりうる値の最小値を求めよ.

自然数 \(n\) に対し, \(\dfrac{10^n -1}{9} =\overbrace{111 \cdots 111}^{n} = \fbox{$n$}\) で表す. たとえば, \(\fbox{$1$}=1\) , \(\fbox{$2$}=11\) , \(\fbox{$3$}=111\) である.

1. (1)　\(m\) を \(0\) 以上の整数とする. \(\fbox{$3^m$}\) は \(3^m\) で割り切れるが, \(3^{m+1}\) では割り切れないことを示せ.

2. (2)　\(n\) が \(27\) で割り切れることが, \(\fbox{$n$}\) が \(27\) で割り切れるための必要十分条件であることを示せ.