四面体 OABC において, \(\overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{c}\) とおく. このとき等式 \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = 1 \] が成り立つとする. \(t\) は実数の定数で, \(0 \lt t \lt 1\) を満たすとする. 線分 OA を \(t : 1-t\) に内分する点を P とし, 線分 BC を \(t : 1-t\) に内分する点を Q とする. また, 線分 PQ の中点を M とする.

1. (1)　\(\overrightarrow{\text{OM}}\) を \(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} , \overrightarrow{c}\) と \(t\) を用いて表せ.

2. (2)　線分 OM と線分 BM の長さが等しいとき, 線分 OB の長さを求めよ.

3. (3)　\(4\) 点 O , A , B , C が点 M を中心とする同一球面上にあるとする. このとき, \(\triangle \text{OAB}\) と \(\triangle \text{OCB}\) は合同であることを示せ.

関数 \(f(x) = 2 \sqrt{x} e^{-x} \ ( x \geqq 0 )\) について次の問いに答えよ.

1. (1)　\(f'(a) = 0\) , \(f''(b) = 0\) を満たす \(a , b\) を求め, \(y = f(x)\) のグラフの概形を描け. ただし, \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} \sqrt{x} e^{-x} = 0\) であることは証明なしに用いてよい.

2. (2)　\(k \geqq 0\) のとき \(V(k) = \displaystyle\int _ {0}^{k} x e^{-2x} \, dx\) を \(k\) を用いて表せ.

3. (3)　(1) で求めた \(a , b\) に対して曲線 \(y = f(x)\) と \(x\) 軸および \(2\) 直線 \(x=a\) , \(x=b\) で囲まれた図形を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる回転体の体積を求めよ.

\(\triangle \text{PQR}\) において \(\angle \text{RPQ} = \theta\) , \(\angle \text{PQR} = \dfrac{\pi}{2}\) とする. 点 \(\text{P} {} _ n \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) を次で定める. \[ \text{P} {} _ 1 = \text{P} , \quad \text{P} {} _ 2 = \text{Q} , \quad \text{P} {} _ n \text{P} {} _ {n+2} = \text{P} {} _ n \text{P} {} _ {n+1} \] ただし, 点 \(\text{P} {} _ {n+2}\) は線分 \(\text{P} {} _ n \text{R}\) 上にあるものとする. 実数 \(\theta _ n \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) を \[ \theta _ n = \angle \text{P} {} _ {n+1} \text{P} {} _ n \text{P} {} _ {n+2} \quad ( 0 \lt \theta _ n \lt \pi ) \] で定める.

1. (1)　\(\theta _ 2 , \theta _ 3\) を \(\theta\) を用いて表せ.

2. (2)　\(\theta _ {n+1} +\dfrac{\theta _ n}{2} \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) は \(n\) によらない定数であることを示せ.

3. (3)　\(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \theta _ n\) を求めよ.

複素数平面上を動く点 \(z\) を考える. 次の問いに答えよ.

1. (1)　等式 \(| z-1 | = | z+1 |\) を満たす点 \(z\) の全体は虚軸であることを示せ.

2. (2)　点 \(z\) が原点を除いた虚軸上を動くとき, \(w = \dfrac{z+1}{z}\) が描く図形は直線から \(1\) 点を除いたものとなる. この図形を描け.

3. (3)　\(a\) を正の実数とする. 点 \(z\) が虚軸上を動くとき, \(w = \dfrac{za+1}{z-a}\) が描く図形は円から \(1\) 点を除いたものとなる. この円の中心と半径を求めよ.

以下の問いに答えよ.

1. (1)　座標平面において, 次の連立不等式の表す領域を図示せよ. \[ \left\{ \begin{array}{l} x^2 +y \leqq 1 \\ x-y \leqq 1 \end{array} \right. \]

2. (2)　\(2\) つの放物線 \(y = x^2 -2x +k\) と \(y = -x^2 +1\) が共有点をもつような実数 \(k\) の値の範囲を求めよ.

3. (3)　\(x , y\) が (1) の連立不等式を満たすとき, \(y -x^2 +2x\) の最大値および最小値と, それらを与える \(x , y\) の値を求めよ.

半径 \(1\) の円を内接円とする三角形 ABC が, 辺 AB と辺 AC の長さが等しい二等辺三角形であるとする. 辺 BC , CA , AB と内接円の接点をそれぞれ P , Q , R とする. また, \(\alpha = \angle \text{CAB}\) , \(\beta = \angle \text{ABC}\) とし, 三角形 ABC の面積を \(S\) とする.

1. (1)　線分 AQ の長さを \(\alpha\) を用いて表し, 線分 QC の長さを \(\beta\) を用いて表せ.

2. (2)　\(t = \tan \dfrac{\beta}{2}\) とおく. このとき, \(S\) を \(t\) を用いて表せ.

3. (3)　不等式 \(S \geqq 3 \sqrt{3}\) が成り立つことを示せ. さらに, 等号が成立するのは, 三角形 ABC が正三角形のときに限ることを示せ.

\(p\) と \(q\) は正の整数とする. \(2\) 次方程式 \(x^2 -2px -q = 0\) の \(2\) つの実数解を \(\alpha , \beta\) とする. ただし, \(\alpha \gt \beta\) とする. 数列 \(\{ a _ n \}\) を \[ a _ n = \dfrac{1}{2} \left( {\alpha}^{n-1} +{\beta}^{n-1} \right) \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] によって定める. ただし, \({\alpha}^0 = 1\) , \({\beta}^0 = 1\) と定める.

1. (1)　すべての自然数 \(n\) に対して, \(a _ {n+2} = 2p a _ {n+1} +q a _ n\) であることを示せ.

2. (2)　すべての自然数 \(n\) に対して, \(a _ n\) は整数であることを示せ.

3. (3)　自然数 \(n\) に対し, \(\dfrac{{\alpha}^{n-1}}{2}\) 以下の最大の整数を \(b _ n\) とする. \(p\) と \(q\) が \(q \lt 2p+1\) を満たすとき, \(b _ n\) を \(a _ n\) を用いて表せ.

\(f(x) = \log \left( e^x +e^{-x} \right)\) とおく. 曲線 \(y = f(x)\) の点 \(( t , f(t) )\) における接線を \(\ell\) とする. 直線 \(\ell\) と \(y\) 軸の交点の \(y\) 座標を \(b(t)\) とおく.

1. (1)　次の等式を示せ. \[ b(t) = \dfrac{2t e^{-t}}{e^t +e^{-t}} +\log \left( 1 +e^{-2t} \right) \]

2. (2)　\(x \geqq 0\) のとき, \(\log (1+x) \leqq x\) であることを示せ.

3. (3)　\(t \geqq 0\) のとき, \[ b(t) \leqq \dfrac{2}{e^t +e^{-t}} +e^{-2t} \] であることを示せ.

4. (4)　\(b(0) = \displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} \displaystyle\int _ 0^x \dfrac{4t}{\left( e^t +e^{-t} \right)^2} \, dt\) であることを示せ.