点 \(O\) を原点とする座標平面上に, \(2\) 点 \(A \ (1,0)\) , \(B \ ( \cos \theta ,\sin \theta ) \ ( 90^{\circ} \lt \theta \lt 180^{\circ} )\) をとり, 以下の条件をみたす \(2\) 点 \(C , D\) を考える. \[ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = 1 , \ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OD} = 0 , \ \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = 0 , \ \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OD} = 1 \] また, \(\triangle OAB\) の面積 \(S _ 1\) , \(\triangle OCD\) の面積 \(S _ 2\) とおく.

1. (1)　ベクトル \(\overrightarrow{OC}\) , \(\overrightarrow{OD}\) の成分を求めよ.

2. (2)　\(S _ 2 = 2 S _ 1\) が成り立つとき, \(\theta\) と \(S _ 1\) の値を求めよ.

3. (3)　\(S = 4 S _ 1 +3 S _ 2\) を最小にする \(\theta\) と, そのときの \(S\) の値を求めよ.

\(a\) を実数とし, \(A = \left( \begin{array}{cc} a+1 & a \\ 3 & a+2 \end{array} \right)\) とする. \(2\) 点 \(P (x,y)\) , \(Q (X,Y)\) について \[ \left( \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \] が成り立つとき, \(P\) は \(A\) により \(Q\) に移るという.

1. (1)　原点以外の点で, \(A\) によりそれ自身に移るものが存在するとき, \(a\) を求めよ.

2. (2)　次の条件 (＊) をみたす \(a , k\) を求めよ.

   1. (＊)　直線 \(\ell : \ y = kx+1\) 上のすべての点は, \(A\) により \(\ell\) 上の点に移る.

3. (3)　(＊) をみたす \(a , k\) に対し, 直線 \(\ell\) 上の点で, \(A\) によりそれ自身に移るものを求めよ.

直線 \(\ell : \ mx+ny = 1\) が, 楕円 \(C : \ \dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{y^2}{b^2} =1 \ ( a \gt b \gt 0 )\) に接しながら動くとする.

1. (1)　点 \((m,n)\) の軌跡は楕円になることを示せ.

2. (2)　\(C\) の焦点 \(F _ 1 \left( -\sqrt{a^2-b^2} , 0 \right)\) と \(\ell\) との距離を \(d _ 1\) とし, もう \(1\) つの焦点 \(F _ 2 \left( \sqrt{a^2-b^2} , 0 \right)\) と \(\ell\) との距離を \(d _ 2\) とする. このとき \(d _ 1 d _ 2 = b^2\) を示せ.

\(x\) の方程式 \(\left| \log _ {10} x \right| =px+q\) （ \(p,q\) は実数）が \(3\) つの相異なる正の解を持ち, 次の \(2\) つの条件を満たすとする.

1. (I)　\(3\) つの解の比は, \(1 : 2 : 3\) である.

2. (II)　\(3\) つの解のうち最小のものは, \(\dfrac{1}{2}\) より大きく, \(1\) より小さい.

このとき, \(A =\log _ {10} 2\) , \(B =\log _ {10} 3\) とおき, \(p\) と \(q\) を \(A\) と \(B\) を用いて表せ.

曲線 \(C : \ y =\dfrac{1}{x+2} \ ( x \gt -2 )\) を考える. 曲線 \(C\) 上の点 \(P _ 1 \left( 0 , \dfrac{1}{2} \right)\) における接線を \(\ell _ 1\) とし, \(\ell _ 1\) と \(x\) 軸との交点を \(Q _ 1\) , 点 \(Q _ 1\) を通り \(x\) 軸と垂直な直線と曲線 \(C\) との交点を \(P _ 2\) とおく. 以下同様に, 自然数 \(n \ ( n \geqq 2 )\) に対して, 点 \(P _ n\) における接線を \(\ell _ n\) とし, \(\ell _ n\) と \(x\) 軸との交点を \(Q _ n\) , 点 \(Q _ n\) を通り \(x\) 軸と垂直な直線と曲線 \(C\) との交点を \(P _ {n+1}\) とおく.

1. (1)　\(\ell _ 1\) の方程式を求めよ.

2. (2)　\(P _ n\) の \(x\) 座標を \(x _ n \ ( n \geqq 1 )\) とする. \(x _ {n+1}\) を \(x _ n\) を用いて表し, \(x _ n\) を \(n\) を用いて表せ.

3. (3)　\(\ell _ n\) , \(x\) 軸, \(y\) 軸で囲まれる三角形の面積 \(S _ n\) を求め, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} S _ n\) を求めよ.

曲線 \(C : \ y =\log x \ ( x \gt 0 )\) を考える. 自然数 \(n\) に対して, 曲線 \(C\) 上に点 \(P ( e^n , n ) , \ Q ( e^{2n} , 2n )\) をとり, \(x\) 軸上に点 \(A ( e^n , 0 ) , \ B ( e^{2n} , 0 )\) をとる. 四角形 \(APQB\) を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる立体の体積を \(V(n)\) とする. また, 線分 \(PQ\) と曲線 \(C\) で囲まれる部分を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる立体の体積を \(S(n)\) とする.

1. (1)　\(V(n)\) を \(n\) の式で表せ.

2. (2)　\(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{S _ n}{V _ n}\) を求めよ.

四面体 \(OABC\) において, 次が満たされているとする. \[ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA} \] 点 \(A , B , C\) を通る平面を \(\alpha\) とする. 点 \(O\) を通り平面 \(\alpha\) と直交する直線と平面 \(\alpha\) との交点を \(H\) とする.

1. (1)　\(\overrightarrow{OA}\) と \(\overrightarrow{BC}\) は垂直であることを示せ.

2. (2)　点 \(H\) は \(\triangle ABC\) の垂心であること, すなわち \(\overrightarrow{AH} \perp \overrightarrow{BC}\) , \(\overrightarrow{BH} \perp \overrightarrow{CA}\) , \(\overrightarrow{CH} \perp \overrightarrow{AB}\) を示せ.

3. (3)　\(\left| \overrightarrow{OA} \right| = \left| \overrightarrow{OB} \right| = \left| \overrightarrow{OC} \right| = 2\) , \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA} =1\) とする. このとき, \(\triangle ABC\) の各辺の長さおよび線分 \(OH\) の長さを求めよ.

以下の問いに答えよ.

1. (1)　座標平面において原点のまわりに角 \(\theta\) （ \(0 \lt \theta \lt \pi\) ）だけ回転する移動を表す行列を \(A\) とする. \(A\) が等式 \(A^2 -A +E = O\) を満たすとき, \(\theta\) と \(A\) を求めよ. ただし, \(E = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) , \(O = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)\) である.

2. (2)　直線 \(y = \sqrt{3} x\) に関する対称移動を表す行列 \(B\) を求めよ.

3. (3)　直線 \(y = kx\) に関する対称移動を表す行列を \(C\) とする, (1) , (2) において求めた \(A , B\) に対して \(BC = A\) が成り立つとき, \(k\) を求めよ.