\(2\) つの双曲線 \(C : \ x^2 -y^2 = 1\) , \(H : \ x^2 -y^2 = -1\) を考える. 双曲線 \(H\) 上の点 \(P (s,t)\) に対して, 方程式 \(sx -ty = 1\) で定まる直線を \(\ell\) とする.
(1) 直線 \(\ell\) は点 \(P\) を通らないことを示せ.
(2) 直線 \(\ell\) と双曲線 \(C\) は相異なる \(2\) 点 \(Q , R\) で交わることを示し, \(\triangle PQR\) の重心 \(G\) の座標を \(s , t\) を用いて表せ.
(3) (2) における \(3\) 点 \(G , Q , R\) に対して, \(\triangle GQR\) の面積は点 \(P (s,t)\) の位置によらず一定であることを示せ.
\(p , q\) を正の実数とする. \(x\) の方程式 \[ \log _ {10} (px) \cdot \log _ {10} (qx) +1 = 0 \] が \(1\) より大きい解をもつとき, 点 \(\left( \log _ {10} p , \log _ {10} q \right)\) の存在する範囲を座標平面上に図示せよ.
\(xyz\) 空間内の点 P \(( 1, 0, 1 )\) と, \(xy\) 平面上の円 \(C : \ x^2 +(y-2)^2 = 1\) に属する点 Q \(( \cos \theta , 2 +\sin \theta , 0 )\) を考える.
(1) 直線 PQ と平面 \(z = t\) の交点の座標を \(( \alpha , \beta , t )\) とするとき, \(\alpha^2 +\beta^2\) を \(t\) と \(\theta\) で表せ.
(2) 線分 PQ を \(z\) 軸の周りに \(1\) 回転させてできる曲面と平面 \(z = 0\) , \(z = 1\) によって囲まれる立体の体積を \(\theta\) で表せ.
(3) Q が \(C\) 上を一周するとき, (2) で求めた体積の最大値, 最小値を求めよ.
\(e\) は自然対数の底とする. \(t \gt e\) において関数 \(f(t) , g(t)\) を次のように定める. \[ f(t) = \displaystyle\int _ 1^e \dfrac{t^2 \log x}{t-x} \, dx , \ g(t) =\displaystyle\int _ 1^e \dfrac{x^2 \log x}{t-x} \, dx \]
(1) \(f(t) -g(t)\) を \(t\) の \(1\) 次式で表せ.
(2) \(1 \leqq x \leqq e\) かつ \(t \gt e\) のとき, \(\dfrac{1}{t-x} \leqq \dfrac{1}{t-e}\) が成り立つことを用いて, \(\displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} g(t) = 0\) を示せ.
(3) \(\displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} \left( f(t) -\dfrac{bt^2}{t-a} \right) =0\) となる定数 \(a , b\) を求めよ.
二つの数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \}\) を次の漸化式によって定める. \[\begin{align} a _ 1 & =3 , \ b _ 1 =1 \\ a _ {n+1} & = \dfrac{1}{2} \left( 3a _ n +5b _ n \right) \\ b _ {n+1} & = \dfrac{1}{2} \left( a _ n +3b _ n \right) \end{align}\]
(1) すべての自然数 \(n\) について, \({a _ n}^2 -5{b _ n}^2 = 4\) であることを示せ.
(2) すべての自然数 \(n\) について, \(a _ n , b _ n\) は自然数かつ \(a _ n+b _ n\) は偶数であることを示せ.
行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{array} \right)\) について, 次の問いに答えよ.
(1) \(P = \left( \begin{array}{cc} 1 & -a \\ a & 1 \end{array} \right)\) , \(D = \left( \begin{array}{cc} x & 0 \\ 0 & y \end{array} \right)\) とする. \(AP =PD\) が成り立つとき, \(a , x , y\) を求めよ. ただし \(a \gt 0\) とする.
(2) \(\left( A +tE \right)^n =4E\) が成り立つような実数 \(t\) と自然数 \(n\) の組をすべて求めよ. ただし, \(E = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) とする.
放物線 \(C : \ y = x^2\) 上の異なる \(2\) 点 P \(( t , t^2 )\) , Q \(( s , s^2 ) \quad ( s \lt t )\) における接線の交点を R \(( X , Y )\) とする.
(1) \(X , Y\) を \(t , s\) を用いて示せ.
(2) 点 P, Q が \(\angle \text{PRQ} =\dfrac{\pi}{4}\) を満たしながら \(C\) 上を動くとき, 点 R は双曲線上を動くことを示し, かつ, その双曲線の方程式を求めよ.
(1) 等式 \(\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta -3 \cos \theta\) を示せ.
(2) \(2 \cos 80^{\circ}\) は \(3\) 次方程式 \(x^3-3x+1 = 0\) の解であることを示せ.
(3) \(x^3-3x+1 = \left( x -2\cos 80^{\circ} \right) \left( x -2\cos \alpha \right) \left( x -2\cos \beta \right)\) となる角度 \(\alpha , \beta\) を求めよ. ただし, \(0^{\circ} \lt \alpha \lt \beta \lt 180^{\circ}\) とする.