\(xyz\) 空間内において, \(yz\) 平面上で放物線 \(z = y^2\) と直線 \(z = 4\) で囲まれる平面図形を \(D\) とする. 点 \(( 1, 1, 0 )\) を通り \(z\) 軸に平行な直線を \(\ell\) とし, \(\ell\) のまわりに \(D\) を \(1\) 回転させてできる立体を \(E\) とする.
(1) \(D\) と平面 \(z=t\) との交わりを \(D _ t\) とする. ただし \(0 \leqq t \leqq 4\) とする. 点Pが \(D _ t\) 上を動くとき, 点Pと点 \(( 1, 1, t )\) との距離の最大値, 最小値を求めよ.
(2) 平面 \(z=t\) による \(E\) の切り口の面積 \(S(t) \ ( 0 \leqq t \leqq 4 )\) を求めよ.
(3) \(E\) の体積 \(V\) を求めよ.
\(f(x)\) を整式で表される関数とし, \(g(x) = \displaystyle\int _ 0^x e^t f(t) \, dt\) とおく. 任意の実数 \(x\) について \[ x \left( f(x) -1 \right) = 2 \displaystyle\int _ 0^x e^{-t} g(t) \, dt \] が成り立つとする.
(1) \(x f''(x) +(x+2) f'(x) -f(x) = 1\) が成り立つことを示せ.
(2) \(f(x)\) は定数または \(1\) 次式であることを示せ.
(3) \(f(x)\) および \(g(x)\) を求めよ.
自然数の数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \}\) は \[ \left( 5+\sqrt{2} \right)^n = a _ n +b _ n \sqrt{2} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] を満たすものとする.
(1) \(\sqrt{2}\) は無理数であることを示せ.
(2) \(a _ {n+1} , b _ {n+1}\) を \(a _ n , b _ n\) を用いて表せ.
(3) すべての自然数 \(n\) に対して, \(a _ {n+1} +pb _ {n+1} =q \left( a _ n +pb _ n \right)\) が成り立つような定数 \(p , q\) を \(2\) 組求めよ.
(4) \(a _ n , b _ n\) を \(n\) を用いて表せ.
実数 \(a\) に対し, 行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a-1 & a-2 \\ a-2 & 1-a \end{array} \right)\) を考える. \(n\) を自然数とし, 座標平面上において, 行列 \(A^n\) により点 \(( 1, 0 )\) が点 \(\text{P} {} _ n\) に移り, 点 \(( 0, 1 )\) が点 \(\text{Q} {} _ n\) に移るものとする. \(2\) 点 \(\text{P} {} _ n , \text{Q} {} _ n\) の間の距離を \(\text{P} {} _ n \text{Q} {} _ n\) で表す.
(1) \(\text{P} {} _ 1 \text{Q} {} _ 1\) を求めよ.
(2) \(A^n\) を \(a\) と \(n\) を用いて表せ.
(3) \(n\) が固定され, \(a\) が実数全体を動くとき, \(\text{P} {} _ n \text{Q} {} _ n\) の最小値を求めよ.
点 \(P \, ( x, y )\) が双曲線 \(\dfrac{x^2}{2} -y^2 = 1\) 上を動くとき, 点 \(P \, ( x, y )\) と点 \(A \, ( a, 0 )\) との距離の最小値を \(f(a)\) とする.
(1) \(f(a)\) を \(a\) で表せ.
(2) \(f(a)\) を \(a\) の関数とみなすとき, \(ab\) 平面上に曲線 \(b = f(a)\) の概形をかけ.
\(O\) を原点とする \(xy\) 平面において, 直線 \(y=1\) の \(\big| x \big| \geqq 1\) を満たす部分を \(C\) とする.
(1) \(C\) 上に点 \(A ( t , 1 )\) をとるとき, 線分 \(OA\) の垂直二等分線の方程式を求めよ.
(2) 点 \(A\) が \(C\) 全体を動くとき, 線分 \(OA\) の垂直二等分線が通過する範囲を求め, それを図示せよ.
自然数 \(n\) に対し, 関数 \[ F _ n(x) = \displaystyle\int _ x^{2x} e^{-t^n} \, dt \quad ( x \geqq 0 ) \] を考える.
(1) 関数 \(F _ n(x) \ ( x \geqq 0 )\) はただ一つの点で最大値をとることを示し, \(F _ n(x)\) が最大となるような \(x\) の値 \(a _ n\) を求めよ.
(2) (1) で求めた \(a _ n\) に対し, 極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \log a _ n\) を求めよ.
\(\alpha\) を \(0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\) を満たす定数とする. 円 \(C : \ x^2+( y+ \sin \alpha )^2 = 1\) および, その中心を通る直線 \(l : \ y = ( \tan \alpha )x -\sin \alpha\) を考える. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) 直線 \(l\) と円 \(C\) の \(2\) つの交点の座標を \(\alpha\) を用いて表せ.
(2) 等式 \[ 2 \displaystyle\int _ {\cos \alpha}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx +\displaystyle\int _ {-\cos \alpha}^{\cos \alpha} \sqrt{1-x^2} \, dx = \dfrac{\pi}{2} \] が成り立つことを示せ.
(3) 連立不等式 \[ \left\{ \begin{array}{l} y \leqq ( \tan \alpha )x -\sin \alpha \\ x^2+( y+ \sin \alpha )^2 \leqq 1 \end{array} \right. \] の表す \(xy\) 平面上の図形を \(D\) とする. 図形 \(D\) を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる立体の体積を求めよ.