\(xyz\) 空間上に点 A \(( 0 , 0 , \sqrt{3} )\) をとる. \(xy\) 平面上の点 P \(( a , b , 0 )\) は, 線分 AP の長さが \(2\) で, \(a \geqq 0\) , \(b \geqq 0\) となるように動く. このとき線分 AP がえがく図形を \(F\) とする. 次の問に答えよ.
(1) 点 P の軌跡を \(xy\) 平面上に図示せよ.
(2) 点 Q \(( x , y , z )\) を図形 \(F\) 上の点とするとき, \(z\) を \(x , y\) を用いて表せ.
(3) 図形 \(F\) , 座標平面 \(x=0\) , \(y=0\) , \(z=0\) によって囲まれる部分を \(x\) 軸の周りに \(1\) 回転してできる回転体を \(V\) とする. \(V\) の平面 \(x=t\) による切り口の面積 \(S(t)\) を \(t\) を用いて表せ.
(4) \(V\) の体積を求めよ.
関数 \(f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 +x^2}}\) について, 次の問に答えよ.
(1) \(y = f(x)\) のグラフの概形を描け.
(2) \(t \gt 0\) を媒介変数として, \(x = f'(t)\) , \(y = f(t) -t f'(t)\) で表される曲線の概形を描け.
(3) (2) の曲線の接線が \(x\) 軸と \(y\) 軸によって切り取られてできる線分の長さは一定であることを示せ.
整数 \(x , y\) が \(x^2 -2y^2 = 1\) をみたすとき, 次の問に答えよ.
(1) 整数 \(a , b , u , v\) が \(( a +b \sqrt{2} ) ( x +y \sqrt{2} ) = u +v \sqrt{2}\) をみたすとき, \(u , v\) を \(a , b , x , y\) で表せ. さらに \(a^2 -2b^2 = 1\) のときの \(u^2 -2v^2\) の値を求めよ. ともに答のみでよい.
(2) \(1 \lt x +y \sqrt{2} \leqq 3 +2 \sqrt{2}\) のとき, \(x = 3 , \ y = 2\) となることを示せ.
(3) 自然数 \(n\) に対して, \(( 3 +2 \sqrt{2} )^{n-1} \lt x +y \sqrt{2} \leqq ( 3 +2 \sqrt{2} )^n\) のとき, \(x +y \sqrt{2} = ( 3 +2 \sqrt{2} )^n\) を示せ.
\(a , b\) を実数とし, \[ f(x) = x^2 +ax +1 , \quad g(x) = -x^2 -bx +1 \] とおく. 次の問に答えよ.
(1) 方程式 \(f(x) = 0\) と \(g(x) = 0\) が共通の解を持つための \(a , b\) の条件を求めよ.
(2) \(a \geqq 0\) , \(b \geqq 0\) の範囲で, (1) で求めた条件をみたしながら \(a , b\) を動かす. \(f(x) = 0\) と \(g(x) = 0\) の共通解を \(\alpha\) とし, \(y = f(x)\) のグラフ上の点 \(( \alpha , 0 )\) における接線を \(\ell\) とする. このとき, \(y = g(x)\) のグラフと \(\ell\) で囲まれる部分の面積の最小値を求めよ.
\(N\) を \(3\) 以上の自然数とする.
\(1\) から \(N\) までの数字が書かれた \(N\) 枚のカードを用意し, A と B の二人で次のようなゲームを行う.
まず A が , \(1\) から \(N\) までの数のうちから \(1\) つを選びそれを \(K\) とし, その数は B に知らせずにおく. その後, 以下の試行を何度も繰り返す.
B は \(N\) 枚のカードから無作為に一枚引いて A にその数を伝え, A は引かれた数字が \(K\) より大きければ「上」, \(K\) 以下であれば「以下」と B に答え, B はその答から \(K\) の範囲を絞り込む. 引いたカードは元へ戻す.
このとき, \(n\) 回以下の試行で B が \(K\) を確定できる確率を \(P _ N (n)\) で表す. 次の問に答えよ.
(1) \(K = 1\) のとき, \(P _ 3 (1) , P _ 3 (2) , P _ 3 (3)\) を求めよ.
(2) \(K = 2\) のとき, \(P _ 3 (1) , P _ 3 (2) , P _ 3 (3)\) を求めよ.
(3) \(K = 1, 2, \cdots , N\) について, \(P _ N (n)\) を求めよ.
(4) 自然数 \(c\) に対して, 極限値 \(\displaystyle\lim _ {N \rightarrow \infty}P _ N (cN)\) を求めよ.
\(a \gt 0\) とする. \(xy\) 平面上に点 A \(( -\sqrt{2} a , 0 )\) , B \(( \sqrt{2} a , 0 )\) を固定する. 動点 P \(( x , y )\) は条件 \(\text{AP} +\text{BP} = 4a\) をみたすものとする. 次の問に答えよ.
(1) 点 P の軌跡として得られる曲線の方程式を求めよ. ただし, 答のみでよい.
(2) (1) の曲線の \(-\sqrt{2} a \leqq x \leqq \sqrt{2} a\) の部分と, 直線 \(x = -\sqrt{2} a\) , 直線 \(x = \sqrt{2} a\) で囲まれる図形を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体を考える. この立体の体積 \(V\) を求めよ.
(3) (2) の立体の表面積 \(S\) を求めよ. ここで, \(y = f(x)\) のグラフの \(p \leqq x \leqq q\) の部分を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる曲面の面積は \[ 2 \pi \displaystyle\int _ p^q \sqrt{\{ f(x) \}^2 +\{ f(x) f'(x) \}^2} \, dx \] として計算してよい.
複素数 \(\alpha = \dfrac{-1 +\sqrt{3} i}{2}\) に対して, \[ S _ n = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n {\alpha}^{k-1} , \ T _ n = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n k {\alpha}^{k-1} \quad ( n = 1, 2, \cdots ) \] とおく. ただし, \({\alpha}^0 = 1\) とする. 次の問に答えよ.
(1) \(S _ {3m} \ ( n = 1, 2, \cdots )\) を求めよ.
(2) \(T _ {3m} \ ( n = 1, 2, \cdots )\) を求めよ.
(3) \(T _ {2014}\) を求めよ.
\(3\) 次関数 \(f(x) = x^3 -ax -b\) について, 次の問に答えよ.
(1) \(a \gt 0\) であるとき, \(f(x)\) の極大値と極小値を求めよ.
(2) 次の (i) , (ii) , (iii) を示せ.
(i) \(27b^2 -4a^3 \gt 0\) のとき, \(3\) 次方程式 \(f(x) = 0\) はただ \(1\) つの実数解をもつ.
(ii) \(27b^2 -4a^3 = 0\) かつ \(a \gt 0\) のとき, \(3\) 次方程式 \(f(x) = 0\) は異なる \(2\) つの実数解をもつ.
(iii) \(27b^2 -4a^3 \lt 0\) のとき, \(3\) 次方程式 \(f(x) = 0\) は異なる \(3\) つの実数解をもつ.