次の問いに答えよ.

1. (1)　関数 \(f(x) = \dfrac{\log (1-x)}{x}\) は \(0 \lt x \lt 1\) の範囲で減少することを示せ.

2. (2)　極限値 \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{1}{n} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} \dfrac{1}{\tan \left( \dfrac{(n+k) \pi}{6n} \right)} \] を求めよ.

数列 \(\{ a _ n \}\) は \[ a _ 1 = 5 , \quad {a _ 1}^2 +{a _ 2}^2 + \cdots +{a _ n}^2 = \dfrac{2}{3} a _ n a _ {n+1} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] をみたすとする. 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(a _ 2 , a _ 3\) を求めよ.

2. (2)　\(a _ {n+2}\) を \(a _ n , a _ {n+1}\) を用いて表せ.

3. (3)　一般項 \(a _ n\) を求めよ.

四面体 OABC があり, \(\overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{c}\) とする. 三角形 ABC の重心を G とする. 点 D , E , P を \(\overrightarrow{\text{OD}} = 2 \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{\text{OE}} = 3 \overrightarrow{c}\) , \(\overrightarrow{\text{OP}} = 6 \overrightarrow{\text{OG}}\) をみたす点とし, 平面 ADE と直線 OP の交点を Q とする. 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(\overrightarrow{\text{OQ}}\) を \(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} , \overrightarrow{c}\) を用いて表せ.

2. (2)　三角形 ADE の面積を \(S _ 1\) , 三角形 QDE の面積を \(S _ 2\) とするとき, \(\dfrac{S _ 2}{S _ 1}\) を求めよ.

3. (3)　四面体 OADE の体積を \(V _ 1\) , 四面体 PQDE の体積を \(V _ 2\) とするとき, \(\dfrac{V _ 2}{V _ 1}\) を求めよ.

\(a\) を正の定数とする. \(2\) つの曲線 \(C _ 1 : \ y = x \log x\) と \(C _ 2 : \ y = ax^2\) の両方に接する直線の本数を求めよ. ただし, \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} \dfrac{( \log x )^2}{x} = 0\) は証明なしに用いてよい.

\(xy\) 平面上に楕円 \(C : \ \dfrac{x^2}{4} +y^2 = 1\) がある. 次の問いに答えよ.

1. (1)　点 P \(( a , b )\) を通る \(C\) の接線が \(2\) 本あり, それらが直交するとき , \(a , b\) が満たす条件を求めよ.

2. (2)　\(C\) に外接する長方形のうち, \(x\) 座標が \(1\) で \(y\) 座標が正である頂点をもつものの面積を求めよ.

次の問いに答えよ.

1. (1)　定積分 \[ \displaystyle\int _ 0^{\log 3} \dfrac{dx}{e^x +5 e^{-x} -2} \] を求めよ.

2. (2)　\(x \gt 0\) のとき, 不等式 \[ \log x \geqq \dfrac{5x^2 -4x -1}{2x (x+2)} \] が成り立つことを示せ.

点 O を中心とする半径 \(1\) の円に内接する三角形 ABC があり, \[ 2 \overrightarrow{\text{OA}} +3 \overrightarrow{\text{OB}} +4 \overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{0} \] をみたしている. この円上に点 P があり, 線分 AB と線分 CP は直交している. 次の問いに答えよ.

1. (1)　内積 \(\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}}\) と \(\left| \overrightarrow{\text{AB}} \right|\) をそれぞれ求めよ.

2. (2)　線分 AB と線分 CP の交点を H とするとき, \(\text{AH} : \text{HB}\) を求めよ.

3. (3)　四角形 APBC の面積を求めよ.

実数 \(a\) に対し, \(xy\) 平面上の放物線 \(C : \ y = (x-a)^2 -2a^2 +1\) を考える. 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(a\) がすべての実数を動くとき, \(C\) が通過する領域を求め, 図示せよ.

2. (2)　\(a\) が \(-1 \leqq a \leqq 1\) の範囲を動くとき, \(C\) が通過する領域を求め, 図示せよ.