座標平面上に, ベクトル \(\overrightarrow{u _ 1} , \overrightarrow{u _ 2} , \cdots , \overrightarrow{u _ n}\) がある. 座標平面上のベクトル \(\overrightarrow{p}\) のうち, \(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^n k \left| \overrightarrow{p} -\overrightarrow{u _ k} \right|^2\) を最小にするものを \(\overrightarrow{v}\) とし, そのときの最小値を \(m\) とする. 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(\overrightarrow{v}\) を \(\overrightarrow{u _ 1} , \overrightarrow{u _ 2} , \cdots , \overrightarrow{u _ n}\) を用いて表せ.

　以下, \(\overrightarrow{u _ k} = \left( \cos \dfrac{k \alpha}{n} , \sin \dfrac{k \alpha}{n} \right) \ ( k = 1, 2, \cdots , n )\) の場合を考える, ただし, \(\alpha\) は正の定数とする.

2. (2)　\(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left| \overrightarrow{v} \right|^2\) を求めよ.

3. (3)　\(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{m}{n^2}\) を求めよ.

1. (1)　定積分 \(\displaystyle\int _ {\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{2+\sin x}{1+\cos x} \, dx\) を求めよ.

2. (2)　関数 \(y = \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x^2-3x}\) の増減, 極値を調べ, そのグラフの概形を描け. ただし, グラフの凹凸, 変曲点は調べなくてよい.

行列 \(X =\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) , \, Y =\left( \begin{array}{cc} -2 & 3 \\ 3 & 6 \end{array} \right)\) は \(XY=YX\) を満たす. 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(c ,d\) を \(a , b\) を用いて表せ.

2. (2)　\(X^2=E , \, b \gt 0\) のとき, \(X\) を求めよ. ただし, \(E\) は単位行列とする.

3. (3)　\(xy\) 平面上に直線 \(\ell\) があり, (2) で求めた行列 \(X\) の表す \(1\) 次変換によって \(\ell\) 上の点はすべて \(\ell\) 上の点に移される. \(\ell\) の方程式を求めよ.

次の問いに答えよ.

1. (1)　\(k\) を \(0\) 以上の整数とするとき, \[ \dfrac{x}{3} +\dfrac{y}{2} \leqq k \] を満たす \(0\) 以上の整数 \(x , y\) の組 \((x,y)\) の個数を \(a _ k\) とする. \(a _ k\) を \(k\) の式で表せ.

2. (2)　\(n\) を \(0\) 以上の整数とするとき, \[ \dfrac{x}{3} +\dfrac{y}{2} +z \leqq n \] を満たす \(0\) 以上の整数 \(x , y , z\) の組 \((x,y,z)\) の個数を \(b _ n\) とする. \(b _ n\) を \(n\) の式で表せ.

次の問いに答えよ.

1. (1)　不定積分 \[ \displaystyle\int x^2 \cos \left( a \log x \right) \, dx \] を求めよ. ただし, \(a\) は \(0\) でない定数とする.

2. (2)　曲線 \(y = x \cos \left( \log x \right)\) と \(x\) 軸, および \(2\) 直線 \(x = 1\) , \(x = e^{\frac{\pi}{4}}\) で囲まれた図形を, \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる回転体の体積を求めよ.

鋭角三角形 ABC の \(\angle \text{A} , \angle \text{B} , \angle \text{C}\) の大きさをそれぞれ \(\alpha , \beta , \gamma\) で表す. 点 D , E , F はそれぞれ辺 CA , AB , BC 上にあり, \(\text{DE} \perp \text{AB}\) , \(\text{EF} \perp \text{BC}\) , \(\text{FD} \perp \text{CA}\) を満たす. 次の問いに答えよ.

1. (1)　△ABC と △DEF は相似であることを示せ.

2. (2)　\(\dfrac{\text{BC}}{\text{EF}} = \dfrac{1}{\tan \alpha} +\dfrac{1}{\tan \beta} +\dfrac{1}{\tan \gamma}\) を示せ.

3. (3)　\(\alpha\) が一定のとき, \(\dfrac{\text{BC}}{\text{EF}}\) を最小にするような \(\beta , \gamma\) を \(\alpha\) で表せ.

次の問いに答えよ.

1. (1)　不定積分 \[ \displaystyle\int \sqrt{1 -e^{-2x}} \, dx \] を置換 \(\sqrt{1 -e^{-2x}} = t\) を用いて求めよ.

2. (2)　極限 \[ \displaystyle\lim _ {\alpha \rightarrow \infty} \displaystyle\int _ 0^{\alpha} \left( 1 -\sqrt{1 -e^{-2x}} \right) \, dx \] を求めよ.

\(xy\) 平面上に \(3\) つの曲線 \[\begin{align} C _ 1 & : \ y = x^2 \\ C _ 2 & : \ y = 2(x-1)^2 +3 \\ C _ 3 & : \ y = -(x-a)^2+b \quad ( \ a , b \text{は実数} ) \end{align}\] がある. \(C _ 2\) と \(C _ 3\) はただ \(1\) つの点を共有している. 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(C _ 1 , C _ 2\) は共有点をもたないことを示せ.

2. (2)　\(b\) を \(a\) の式で表せ.

3. (3)　\(C _ 1\) と \(C _ 3\) で囲まれる部分の面積を \(S(a)\) とする. \(S(a)\) を最小にする \(a\) を求めよ.