一橋大2021:第1問


\(1000\) 以下の素数は \(250\) 個以下であることを示せ.


一橋大2021:第2問


実数 \(x\) に対し, \(x\) を超えない最大の整数を \([ x ]\) で表す. 数列 \(\{ a_k \}\) を \[ a_k = 2^{\left[ \sqrt{k} \right]} \quad ( k = 1, 2, 3, \cdots ) \] で定義する. 正の整数 \(n\) に対して \[ b_n = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n^2} a_k \] を求めよ.


一橋大2021:第3問


次の問いに答えよ.

  1. (1) \(a , b\) を実数とし, \(2\) 次方程式 \(x^2 -ax +b = 0\) が実数解 \(\alpha , \beta\) をもつとする. ただし, 重解の場合は \(\alpha = \beta\) とする. \(3\) 辺の長さが \(1 , \alpha , \beta\) である三角形が存在する \(( a , b )\) の範囲を求め図示せよ.

  2. (2) \(3\) 辺の長さが \(1 , \alpha , \beta\) である三角形が存在するとき, \[ \dfrac{\alpha \beta +1}{( \alpha +\beta )^2} \] の値の範囲を求めよ.


一橋大2021:第4問


\(k \gt 0\) とする. 円 \(C\) を \(x^2 +(y-1)^2 = 1\) とし, 放物線 \(S\) を \(y = \dfrac{1}{k} x^2\) とする.

  1. (1) \(C\) と \(S\) が共有点をちょうど \(3\) 個持つときの \(k\) の範囲を求めよ.

  2. (2) \(k\) が (1) の範囲を動くとき, \(C\) と \(S\) の共有点のうちで \(x\) 座標が正の点を P とする. P における \(S\) の接線と \(S\) と \(y\) 軸とによって囲まれる領域の面積の最大値を求めよ.


一橋大2021:第5問


サイコロを \(3\) 回投げて出た目を順に \(a , b , c\) とするとき, \[ \displaystyle\int _ {a-3}^{a+3} (x-b) (x-c) \, dx = 0 \] となる確率を求めよ.


東大文系2021:第1問


\(a\) を正の実数とする. 座標平面上の曲線 \(C\) を \(y = ax^3 -2x\) で定める. 原点を中心とする半径 \(1\) の円と \(C\) の共有点の個数が \(6\) 個であるような \(a\) の範囲を求めよ.


東大文系2021:第2問


\(N\) を \(5\) 以上の整数とする. \(1\) 以上 \(2N\) 以下の整数から, 相異なる \(N\) 個の整数を選ぶ. ただし \(1\) は必ず選ぶこととする. 選んだ数の集合を \(S\) とし, \(S\) に関する以下の条件を考える.

  1. 条件 1 : \(S\) は連続する \(2\) 個の整数からなる集合を \(1\) つも含まない.

  2. 条件 2 : \(S\) は連続する \(N-2\) 個の整数からなる集合を少なくとも \(1\) つ含む.

ただし, \(2\) 以上の整数 \(k\) に対して, 連続する \(k\) 個の整数からなる集合とは, ある整数 \(l\) を用いて \(\{ l , l+1 , \cdots , l+k-1 \}\) と表される集合を指す. 例えば \(\{ 1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 8 , 9 , 10 \}\) は連続する \(3\) 個の整数からなる集合 \(\{ 1 , 2 , 3 \}\) , \(\{ 7 , 8 , 9 \}\) , \(\{ 8 , 9 , 10 \}\) を含む.

  1. (1) 条件 1 を満たすような選び方は何通りあるか.

  2. (2) 条件 2 を満たすような選び方は何通りあるか.


東大文系2021:第3問


\(a , b\) を実数とする. 座標平面上の放物線 \[ C \ : \ y = x^2 +ax +b \] は放物線 \(y = -x^2\) と \(2\) つの共有点を持ち, 一方の共有点の \(x\) 座標は \(-1 \lt x \lt 0\) を満たし, 他方の共有点の \(x\) 座標は \(0 \lt x \lt -1\) を満たす.

  1. (1) 点 \(( a , b )\) のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ.

  2. (2) 放物線 \(C\) の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ.