東工大2016:第1問

\(a\) を正の定数とし, 放物線 \(y = \dfrac{x^2}{4}\) を \(C_1\) とする.

  1. (1) 点 P が \(C_1\) 上を動くとき, P と点 Q \(\left( 2a , \dfrac{a^2}{4} -2 \right)\) の距離の最小値を求めよ.

  2. (2) Q を中心とする円 \(( x -2a )^2 +\left( y -\dfrac{a^2}{4} +2 \right)^2 = 2 a^2\) を \(C_2\) とする. P が \(C_1\) 上を動き, 点 R が \(C_2\) 上を動くとき, P と R の距離の最小値を求めよ.


東工大2016:第2問

\(\triangle \text{ABC}\) を一辺の長さ \(6\) の正三角形とする. サイコロを \(3\) 回振り, 出た目を順に \(X , Y , Z\) とする. 出た目に応じて, 点 P, Q, R をそれぞれ線分 BC, CA, AB 上に
\[
\overrightarrow{\text{BP}} = \dfrac{X}{6} \overrightarrow{\text{BC}} , \quad \overrightarrow{\text{CQ}} = \dfrac{Y}{6} \overrightarrow{\text{CA}} , \quad \overrightarrow{\text{AR}} = \dfrac{Z}{6} \overrightarrow{\text{AB}}
\]
をみたすように取る.

  1. (1) \(\triangle \text{PQR}\) が正三角形になる確率を求めよ.

  2. (2) 点 B, P, R を互いに線分で結んでできる図形を \(T_1\) , 点 C, Q, P を互いに線分で結んでできる図形を \(T_2\) , 点 A, R, Q を互いに線分で結んでできる図形を \(T_3\) とする. \(T_1 , T_2 , T_3\) のうち, ちょうど \(2\) つが正三角形になる確率を求めよ.

  3. (3) \(\triangle \text{PQR}\) の面積を \(S\) とし, \(S\) のとりうる値の最小値を \(m\) とする. \(m\) の値および \(S = m\) となる確率を求めよ.


東工大2016:第3問

水平な平面 \(\alpha\) の上に半径 \(r_1\) の球 \(S_1\) と半径 \(r_2\) の球 \(S_2\) が乗っており, \(S_1\) と \(S_2\) は外接している.

  1. (1) \(S_1 , S_2\) が \(\alpha\) と接する点をそれぞれ \(\text{P}_1 , \text{P}_2\) とする. 線分 \(\text{P}_1 \text{P}_2\) の長さを求めよ.

  2. (2) \(\alpha\) の上に乗っており, \(S_1\) と \(S_2\) の両方に外接している球すべてを考える. それらの球と \(\alpha\) の接点は, \(1\) つの円の上または \(1\) つの直線上にあることを示せ.


東工大2016:第4問

\(n\) を \(2\) 以上の自然数とする.

  1. (1) \(n\) が素数または \(4\) のとき, \((n-1) !\) は \(n\) で割り切れないことを示せ.

  2. (2) \(n\) が素数でなくかつ \(4\) でもないとき, \((n-1) !\) は \(n\) で割り切れることを示せ.


東工大2016:第5問

次のように媒介変数表示された \(xy\) 平面上の曲線を \(C\) とする:
\[
\left\{ \begin{array}{l} x = 3 \cos t -\cos 3t \\ y = 3 \sin t -\sin 3t \end{array} \right.
\]
ただし, \(0 \leq t \leq \dfrac{\pi}{2}\) である.

  1. (1) \(\dfrac{dx}{dt}\) および \(\dfrac{dy}{dt}\) を計算し, \(C\) の概形を図示せよ.

  2. (2) \(C\) が \(x\) 軸と \(y\) 軸で囲まれた部分の面積を求めよ.


京大理系2016:第1問

  1. (1) \(n\) を \(2\) 以上の自然数とするとき, 関数
    \[
    f_n ( \theta ) = ( 1 +\cos \theta ) \sin^{n-1} \theta
    \]
    の \(0 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}\) における最大値 \(M_n\) を求めよ.

  2. (2) \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \left( M_n \right)^n\) を求めよ.


京大理系2016:第2問

素数 \(p , q\) を用いて
\[
p^q +q^p
\]
と表される素数をすべて求めよ.


京大理系2016:第3問

四面体 OABC が次の条件を満たすならば, それは正四面体であることを示せ.

  1. 条件:頂点 A, B, C からそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の外心を通る.

ただし, 四面体のある頂点の対面とは, その頂点を除く他の \(3\) つの頂点がなす三角形のことである.