\(1000\) 以下の素数は \(250\) 個以下であることを示せ.
【 解 答 】
\(1000\) 以下の \(k\) の倍数の個数は \(\left[ \dfrac{1000}{k} \right]\) で表せる.
\(2 , 3 , 5 , 7\) の倍数, 公倍数の個数を考えると
\[\begin{align}
\left[ \dfrac{1000}{2} \right] & = 500 \ , \ \left[ \dfrac{1000}{3} \right] = 333 \ , \\
\left[ \dfrac{1000}{5} \right] & = 200 \ , \ \left[ \dfrac{1000}{7} \right] = 142 \ , \\
\left[ \dfrac{1000}{6} \right] & = 166 \ , \ \left[ \dfrac{1000}{10} \right] = 100 \ , \\
\left[ \dfrac{1000}{14} \right] & = 71 \ , \ \left[ \dfrac{1000}{15} \right] = 66 \ , \\
\left[ \dfrac{1000}{21} \right] & = 47 \ , \ \left[ \dfrac{1000}{35} \right] = 28 \ , \\
\left[ \dfrac{1000}{30} \right] & = 33 \ , \ \left[ \dfrac{1000}{42} \right] = 23 \ , \\
\left[ \dfrac{1000}{70} \right] & = 14 \ , \ \left[ \dfrac{1000}{105} \right] = 9 \ , \\
\left[ \dfrac{1000}{210} \right] & = 4
\end{align}\]
なので, \(2 , 3 , 5 , 7\) のいずれかの倍数である \(1000\) 以下の整数の個数は
\[\begin{align}
500 & +333 +200 +142 \\
& \qquad -166 -100 -71 -66 -47 -28 \\
& \qquad +33 +23 +14 +9 -4 \\
& = 1175 -478 +79 -4 \\
& = 772
\end{align}\]
これには素数が \(4\) 個含まれているので, \(1000\) 以下の素数の個数 \(N\) は
\[\begin{align}
N & \lt 1000 -( 772 -4 ) \\
& = 232 \lt 250
\end{align}\]
よって, 題意は示された.