第 1 問

座標平面上の点 A $( 0 , 0 )$ , B $( 0 , 1 )$ , C $( 1 , 1 )$ , D $( 1 , 0 )$ を考える. 実数 $0 \lt t \lt 1$ に対して, 線分 AB , BC , CD を $t : (1-t)$ に内分する点をそれぞれ $\text{P}_t$ , $\text{Q}_t$ , $\text{R}_t$ とし, 線分 $\text{P}_t \text{Q}_t$ , $\text{Q}_t \text{R}_t$ を $t : (1-t)$ に内分する点をそれぞれ $\text{S}_t$ , $\text{T}_t$ とする. さらに, 線分 $\text{S}_t \text{T}_t$ を $t : (1-t)$ に内分する点を $\text{U}_t$ とする. また, 点 A を $\text{U}_0$ , 点 D を $\text{U}_1$ とする.

1. (1)　点 $\text{U}_t$ の座標を求めよ.
2. (2)　$t$ が $0 \leqq t \leqq 1$ の範囲を動くときに点 $\text{U}_t$ の描く曲線と, 線分 AD で囲まれた部分の面積を求めよ.
3. (3)　$a$ が $0 \lt a \lt 1$ を満たす実数とする. $t$ が $0 \leqq t \leqq a$ の範囲を動くときに点 $\text{U}_t$ の描く曲線の長さを, $a$ の多項式の形で求めよ.

第 2 問

1. (1)　$x \gt 0$ のとき, 不等式 $\log x \leqq x-1$ を示せ.
2. (2)　次の極限を求めよ. $$\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} n \displaystyle\int_1^2 \log \left( \dfrac{1 +x^{\large\frac{1}{n}}}{2} \right) \, dx$$

第 3 問

平行四辺形 ABCD において, $\angle \text{ABC} = \dfrac{\pi}{6}$ , $\text{AB} = a$ , $\text{BC} = b$ , $a \leqq b$ とする. 次の条件を満たす長方形 EFGH を考え, その面積を $S$ とする.

1. 条件：　点 A , B , C , D はそれぞれ辺 EF , FG , GH , HE 上にある.

ただし, 辺はその両端の点も含むものとする.

1. (1)　$\angle \text{BCG} = \theta$ とするとき, $S$ を $a , b, \theta$ を用いて表せ.
2. (2)　$S$ のとりうる値の最大値を $a , b$ を用いて表せ.

第 4 問

この問いでは, $0$ 以上の整数の $2$ 乗になる数を平方数と呼ぶ. $a$ を正の整数とし, $f_a (x) = x^2 +x -a$ とおく.

1. (1)　$n$ を正の整数とする. $f_a (n)$ が平方数ならば, $n \leqq a$ であることを示せ.
2. (2)　$f_a (n)$ が平方数となる正の整数 $n$ の個数を $N_a$ とおく. 次の条件 (i) , (ii) が同値であることを示せ.
   1. (i)　$N_a = 1$ である.
   2. (ii)　$4a +1$ は素数である.

第 5 問

$n$ を $2$ 以上の整数とする. $1$ から $n$ までの数字が書かれた札が各 $1$ 枚ずつ合計 $n$ 枚あり, 横一列に置かれている. $1$ 以上 $(n-1)$ 以下の整数 $i$ に対して, 次の操作 $( \text{T}_i )$ を考える.

1. $( \text{T}_i )$　左から $i$ 番目の札の数字が, 左から $(i+1)$ 番目の札の数字よりも大きければ, これら $2$ 枚の札の位置を入れかえる. そうでなければ, 札の位置をかえない.

最初の状態において札の数字は左から $A_1 , A_2 , \cdots , A_n$ であったとする. この状態から $(n-1)$ 回の操作 $( \text{T}_1 , \text{T}_2 , \cdots , \text{T}_{n-1} )$ を順に行った後, 続けて $(n-1)$ 回の操作 $( \text{T}_{n-1} , \cdots , \text{T}_2 , \text{T}_1 )$ を順に行ったところ, 札の数字は左から $1 , 2 , \cdots , n$ と小さい順に並んだ. 以下の問いに答えよ.

1. (1)　$A_1$ と $A_2$ のうち少なくとも一方は $2$ 以下であることを示せ.
2. (2)　最初の状態としてありうる札の数字の並び方 $A_1 , A_2 , \cdots , A_n$ の総数を $c_n$ とする. $n$ が $4$ 以上の整数であるとき, $c_n$ を $c_{n-1}$ と $c_{n-2}$ を用いて表せ.

第 6 問

複素数平面上の点 $\dfrac{1}{2}$ を中心とする半径 $\dfrac{1}{2}$ の円の周から原点を除いた曲線を $C$ とする.

1. (1)　曲線 $C$ 上の複素数 $z$ に対し, $\dfrac{1}{z}$ の実部は $1$ であることを示せ.
2. (2)　$\alpha , \beta$ を曲線 $C$ 上の相異なる複素数とするとき, $\dfrac{1}{\alpha^2} +\dfrac{1}{\beta^2}$ がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ.
3. (3)　$\gamma$ を (2) で求めた範囲に属さない複素数とするとき, $\dfrac{1}{\gamma}$ の実部がとりうる値の最大値と最小値を求めよ.