曲線 \(y = e^{-x}\) と \(y = e^{-x} \left| \cos x \right|\) で囲まれた図形のうち, \((n-1) \pi \leqq x \leqq n \pi\) をみたす部分の面積を \(a _ n\) とする（ \(n = 1, 2, 3, \cdots\) ）. 以下の問に答えよ.
(1) \(\displaystyle\int e^{-x} \cos x \, dx = e^{-x} \left( p \sin x +q \cos x \right) +C\) をみたす定数 \(p , q\) を求めよ. ただし, \(C\) は積分定数である.
(2) \(a _ 1\) の値を求めよ.
(3) \(a _ n\) の値を求めよ.
(4) \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( a _ 1 +a _ 2 + \cdots + a _ n \right)\) を求めよ.
\(n\) を正の整数とするとき, 以下の問に答えよ.
(1) \(k\) を正の整数とする. 関数 \((1-x)^n x^k\) の \(0 \leqq x \leqq 1\) における最大値を \(a _ n\) とする. \(a _ n\) および \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} a _ n\) を求めよ.
(2) \(f(x) , g(x)\) を \(0 \leqq x \leqq 1\) において定められた連続関数とする. 関数 \((1-x)^n f(x)\) , \((1-x)^n g(x)\) , \((1-x)^n \left\{ f(x) +g(x) \right\}\) の \(0 \leqq x \leqq 1\) における最大値をそれぞれ \(b _ n , c _ n , d _ n\) とする. このとき, \(0 , b _ n +c _ n , d _ n\) の大小を \[ \square \leqq \square \leqq \square \] の形式で答え, その理由を述べよ.
(3) \(p , q , r \geqq 0\) を定数, \(f(x) = px^2+qx+r\) とし, 関数 \((1-x)^n f(x)\) の \(0\leq x \leqq 1\) における最大値を \(e _ n\) とする. \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} e _ n\) を求めよ.
\(xy\) 平面において, 点 \(( 5 \sqrt{3} , 0 )\) を中心とする半径 \(5\) の円を C, 点 \(( -4 \sqrt{3} , 0 )\) を中心とする半径 \(4\) の円を D とする. C , D の共通接線のうち, C , D が異なる側にあり傾きが正であるものを \(\ell\) , 傾きが負であるものを \({\ell}'\) とし, C , D が同じ側にあり傾きが正であるものを \(m\) とする. 以下の問に答えよ.
(1) 直線 \(\ell\) の方程式を求めよ.
(2) 直線 \(m\) の方程式を求めよ.
(3) 三直線 \(\ell , {\ell}' , m\) のすべてに接し C , D と異なる円を E , E' とする. 二円 E , E' の中心の \(x\) 座標を求めよ.
(4) (3) の円 E , E' の半径を求めよ.
\(2\) 行 \(2\) 列の行列 \(\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) を考える. \(a , b , d\) が実数で \(c = 0\) である行列 \(\left( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & d \end{array} \right)\) を上三角行列という. また, \(E = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) とおく.
(1) \(A^2 = E\) をみたす上三角行列 \(A\) をすべて求めよ.
(2) \(A^3 = E\) をみたす上三角行列 \(A\) をすべて求めよ.
(3) 上三角行列 \(A\) が \(A^4 = E\) をみたすとき, \(A^2 = E\) となることを示せ.
(1) 関数 \(f(x) = 2x^3-3x^2+1\) のグラフをかけ.
(2) 方程式 \(f(x) = a\) （ \(a\) は実数）が相異なる \(3\) つの実数解 \(\alpha \lt \beta \lt \gamma\) を持つとする. \(\ell = \gamma -\alpha\) を \(\beta\) のみを用いて表せ.
(3) (2) の条件のもとで変化するとき \(\ell\) の動く範囲を求めよ.
数列 \(\{ a _ n \} \ ( a _ n \gt 0 )\) を次の規則によって定める： \[ a _ 1 = 1 \ : \ \displaystyle\int _ {a _ n}^{a _ {n+1}} \dfrac{dx}{\sqrt[3]{x}} = 1 \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] 曲線 \(y= \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\) と, \(x\) 軸および \(2\) 直線 \(x = a _ n\) , \(x = a _ {n+1}\) で囲まれた図形を \(x\) 軸の周りに \(1\) 回転させた回転体の体積を \(V _ x\) とする. このとき, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \sqrt{n} V _ x\) を求めよ.
原点 O \((0,0)\) を中心とする半径 \(1\) の円に, 円外の点 P \(( x _ 0 , y _ 0 )\) から \(2\) 本の接線を引く.
(1) \(2\) つの接点の中点を Q とするとき, 点 Q の座標 \(( x _ 1 , y _ 1 )\) を点 P の座標 \(( x _ 0 , y _ 0 )\) を用いて表せ. また \(\text{OP} \cdot \text{OQ} = 1\) であることを示せ.
(2) 点 P が直線 \(x+y = 2\) 上を動くとき, 点 Q の軌跡を求めよ.