次の式で与えられる底面の半径が \(2\) , 高さが \(1\) の円柱 \(C\) を考える. \[ C = \left\{ (x,y,z) | x^2+y^2 \leqq 4 , \ 0 \leqq z \leqq 1 \right\} \] \(xy\) 平面上の直線 \(y=1\) を含み, \(xy\) 平面と \(45^{\circ}\) の角をなす平面のうち, 点 \((0, 2, 1)\) を通るものを \(H\) とする. 円柱 \(C\) を平面 \(H\) で \(2\) つに分けるとき, 点 \((0, 2, 0)\) を含む方の体積を求めよ.
地球上の北緯 \(60^{\circ}\) 東経 \(135^{\circ}\) の地点を A , 北緯 \(60^{\circ}\) 東経 \(75^{\circ}\) の地点を B とする.
A から B に向かう \(2\) 種類の飛行経路 \(R _ 1\) , \(R _ 2\) を考える.
\(R _ 1\) は西に向かって同一緯度で飛ぶ経路とする. \(R _ 2\) は地球の大円に沿った経路のうち, 飛行距離の短い方とする.
\(R _ 1\) に比べて \(R _ 2\) は飛行距離が \(3 \%\) 以上短くなることを示せ.
ただし, 地球は完全な球体であるとし, 飛行機は高度 \(0\) を飛ぶものとする. また必要があれば, この冊子の \(5\) ページと \(6\) ページの三角関数表を用いよ.
注：大円とは, 球を球の中心を通る平面で切ったとき, その切り口にできる円のことである.
※ 当サイトでは, 三角関数表は省略します.
座標平面の点 \((x,y)\) を \(( 3x+y , -2x )\) へ移す移動 \(f\) を考え, 点 P が移る先を \(f( \text{P} )\) と表す. \(f\) を用いて直線 \(l _ 0 , l _ 1 , l _ 2 , \cdots\) を以下のように定める.
\(l _ 0\) は直線 \(3x+2y=1\) である.
点 P が \(l _ n\) 上を動くとき, \(f( \text{P} )\) が描く直線を \(l _ {n+1}\) とする（ \(n =0, 1, 2, \cdots\) ）.
(1) \(a _ {n+1} , b _ {n+1}\) を \(a _ {n} , b _ {n}\) で表せ.
(2) 不等式 \(a _ {n} x +b _ {n} y \gt 1\) が定める領域を \(D _ n\) とする. \(D _ 0 , D _ 1 , D _ 2 , \cdots\) すべてに含まれるような点の範囲を図示せよ.
白黒 \(2\) 種類のカードがたくさんある. そのうち \(k\) 枚のカードを手もとにもっているとき, 次の操作 (A) を考える.
以下の問 (1) , (2) に答えよ.
(1) 最初に白 \(2\) 枚, 黒 \(2\) 枚, 合計 \(4\) 枚のカードをもっているとき, 操作 (A) を \(n\) 回繰り返した後に初めて, \(4\) 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ.
(2) 最初に白 \(3\) 枚, 黒 \(3\) 枚, 合計 \(6\) 枚のカードをもっているとき, 操作 (A) を \(n\) 回繰り返した後に初めて, \(6\) 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ.
(1) 正八面体のひとつの面を下にして水平な台の上に置く. この八面体を真上から見た図（平面図）を描け.
(2) 正八面体の互いに平行な \(2\) つの面をとり, それぞれの面の重心を \(\text{G} {} _ 1 , \text{G} {} _ 2\) とする. \(\text{G} {} _ 1 , \text{G} {} _ 2\) を通る直線を軸としてこの八面体を \(1\) 回転させてできる立体の体積を求めよ. ただし八面体は内部も含むものとし, 各辺の長さは \(1\) とする.
放物線 \(y=x^2\) 上に2点 P , Q がある. 線分 PQ の中点の \(y\) 座標を \(h\) とする.
(1) 線分 PQ の長さ \(L\) と傾き \(m\) で, \(h\) で表せ.
(2) \(L\) を固定したとき, \(h\) がとりうる値の最小値を求めよ.
自然数 \(n\) に対し, \(\dfrac{10^n -1}{9} =\overbrace{111 \cdots 111}^{n} = \fbox{$n$}\) で表す. たとえば, \(\fbox{$1$}=1\) , \(\fbox{$2$}=11\) , \(\fbox{$3$}=111\) である.
(1) \(m\) を \(0\) 以上の整数とする. \(\fbox{$3^m$}\) は \(3^m\) で割り切れるが, \(3^{m+1}\) では割り切れないことを示せ.
(2) \(n\) が \(27\) で割り切れることが, \(\fbox{$n$}\) が \(27\) で割り切れるための必要十分条件であることを示せ.
座標平面において, 媒介変数 \(t\) を用いて \[ \left\{ \begin{array}{l} x= \cos 2t \\ y= t \sin t \end{array} \right. \quad ( \ 0 \leqq t \leqq 2 \pi \] と表される曲線が囲む領域の面積を求めよ.