\(a , b\) を実数とする. 座標平面上の放物線 \[ C \ : \ y = x^2 +ax +b \] は放物線 \(y = -x^2\) と \(2\) つの共有点を持ち, 一方の共有点の \(x\) 座標は \(-1 \lt x \lt 0\) を満たし, 他方の共有点の \(x\) 座標は \(0 \lt x \lt -1\) を満たす.

1. (1)　点 \(( a , b )\) のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ.

2. (2)　放物線 \(C\) の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ.

複素数 \(a , b, c\) に対して整式 \(f(z) = az^2 +bz +c\) を考える. \(i\) を虚数単位とする.

1. (1)　\(\alpha , \beta , \gamma\) を複素数とする. \(f( 0 ) = \alpha\) , \(f( 1 ) = \beta\) , \(f(i) = \gamma\) が成り立つとき, \(a , b , c\) をそれぞれ \(\alpha , \beta , \gamma\) で表せ.

2. (2)　\(f(0) , f(1) , f(i)\) がいずれも \(1\) 以上 \(2\) 以下の実数であるとき, \(f(2)\) のとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ.

関数 \[ f(x) = \dfrac{x}{x^2 +3} \] に対して, \(y = f(x)\) のグラフを \(C\) とする. 点 A \(( 1 , f(1) )\) における \(C\) の接線を \[ \ell \ : \ y = g(x) \] とする.

1. (1)　\(C\) と \(\ell\) の共有点で A と異なるものがただ \(1\) つ存在することを示し, その点の \(x\) 座標を求めよ.

2. (2)　(1) で求めた共有点の \(x\) 座標を \(\alpha\) とする. 定積分 \[ \displaystyle\int _ {\alpha}^{1} \left\{ f(x) -g(x) \right\}^2 \, dx \] を計算せよ.