さいころを投げると, \(1\) から \(6\) までの整数の目が等しい確率で出るとする. さいころを \(n\) 回（ \(n=1, 2, 3, \cdots\) ）投げるとき, 出る目の積の一の位が \(j \ ( j = 0, 1, 2, \cdots , 9 )\) となる確率を \(p _ n(j)\) とする.
(1) \(p _ 2(0) , p _ 2(1) , p _ 2(2)\) を求めよ.
(2) \(p _ {n+1}(1)\) を, \(p _ n(1)\) と \(p _ n(7)\) を用いて表せ.
(3) \(p _ n(1)+p _ n(3)+p _ n(7)+p _ n(9)\) を求めよ.
(4) \(p _ n(5)\) を求めよ.
\(x , y\) を正の整数とする.
(1) \(\dfrac{2}{x} +\dfrac{1}{y}= \dfrac{1}{4}\) をみたす組 \((x, y)\) をすべて求めよ.
(2) \(p\) を \(3\) 以上の素数とする. \(\dfrac{2}{x} +\dfrac{1}{y}= \dfrac{1}{p}\) をみたす組 \((x, y)\) のうち, \(2x+3y\) を最小にする \((x, y)\) を求めよ.
座標平面または座標空間において, 座標成分がすべて整数である点を格子点という. 以下の各問いに答えよ.
(1) \(C _ 1\) を座標平面上の半径 \(0.5\) の円とする. \(C _ 1\) が内部に格子点を含まないとき, \(C _ 1\) の中心 \((x, y)\) が存在しうる領域を \(0 \leqq x \leqq 2\) , \(0 \leqq y \leqq 2\) の範囲で図示せよ.
(2) \(C _ 2\) を座標平面上の半径 \(0.75\) の円とする. \(C _ 2\) は中心をどのような位置に移動させても必ず内部に格子点を含むことを示せ.
(3) \(S\) を座標空間内の半径 \(r\) の球とする. \(S\) は半径を変化させずに中心をどのような位置に移動させても, 必ず内部に格子点を含むとする. このとき \(r\) のとりうる値の範囲を求めよ. ここで \(S\) の内部とは, \(S\) からの距離が \(r\) より小さい点全体からなる集合のことである.
正の実数 \(a , b , c\) を係数とする \(2\) 次式 \(f(x)=ax^2+bx+c\) に関して, 次の条件 C を考える.
このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(f(x)\) が条件 C を満たすとき, \(g(x) = f(x+3) -f(x)\) は係数および定数項が整数となる \(1\) 次式であることを示せ.
(2) 条件 C を満たす \(f(x)\) のうち, \(f(1) = 1\) となるものを求めよ.
(3) 以下の条件 C' が条件 C と同値となるような自然数の組 \((m _ 1, m _ 2, m _ 3)\) のうち, \(m _ 1+m _ 2+m _ 3\) が最小となるものを求めよ.
(4) \(n\) を自然数とする. 条件 C を満たす \(f(x)\) のうち, \(f(1) = n\) となるものの個数を \(n\) を用いて表せ.
関数 \(f(x) = \sin 2x +a \cos x\) について, 以下の各問いに答えよ.
(1) \(f(x)\) が区間 \(-\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}\) の相異なる \(2\) 点で極値を取るような, \(a\) の値の範囲を求めよ.
(2) \(a\) が (1) で求めた範囲にあるとき, \(\displaystyle\int _ {-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \big| f(x) \big| \, dx\) を \(a\) を用いて表せ.
(3) \(a\) が (1) で求めた範囲にあるとき, \(f(x)\) が極値を取る \(x\) の値を \(x = \alpha , \beta \ \left( \text{ただし} -\dfrac{\pi}{2} \lt \alpha \lt \beta \lt \dfrac{\pi}{2} \right) \quad\) とする. \(\displaystyle\int _ {\alpha}^{\beta} \big| f(x) \big| \, dx\) を \(a\) を用いて表せ.
点 \(P\) から放物線 \(y=\dfrac{1}{2} x^2\) へ \(2\) 本の接線が引けるとき, \(2\) つの接点を \(A , B\) とし, 線分 \(PA , PB\) およびこの放物線で囲まれる図形の面積を \(S\) とする. \(PA , PB\) が直交するときの \(S\) の最小値を求めよ.
実数 \(a\) に対し, 次の \(1\) 次変換 \[ f(x,y) = \left( ax+(a-2)y , (a-2)x+ay \right) \] を考える. 以下の \(2\) 条件をみたす直線 \(L\) が存在するような \(a\) を求めよ.
(1) \(L\) は点 \((0, 1)\) を通る.
(2) 点 \(Q\) が \(L\) 上にあれば, その \(f\) による \(f(Q)\) も \(L\) 上にある.
\(N\) を正の整数とする. \(2N\) 以下の正の整数 \(m\) , \(n\) からなる組 \((m, n)\) で, 方程式 \(x^2-nx+m=0\) が \(N\) 以上の実数解をもつようなものは何組あるか.