\(x\) の \(3\) 次関数 \(f(x) = ax^3+bx^2+cx+d\) が, \(3\) つの条件 \[ f(1) = 1 , \ f(-1) = -1 , \ \displaystyle\int _ {-1}^{1} ( bx^2+cx+d ) \, dx = 1 \] を全て満たしているとする. このような \(f(x)\) の中で定積分 \[ I = \displaystyle\int _ {-1}^{\frac{1}{2}} \left\{ f''(x) \right\}^2 \, dx \] を最小にするものを求め, そのときの \(I\) の値を求めよ. ただし, \(f''(x)\) は \(f'(x)\) の導関数を表す.

実数 \(x\) の小数部分を, \(0 \leqq y \lt 1\) かつ \(x-y\) が整数となる実数 \(y\) のこととし, これを記号 \(\langle x \rangle\) で表す. 実数 \(a\) に対して, 無限数列 \(\{ a _ n \}\) の各項 \(a _ n \quad ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )\) を次のように順次定める.

1. (i)　\(a _ 1 = \langle a \rangle\)

2. (ii)　\(\left\{ \begin{array}{ll} a _ {n+1} = \left\langle \dfrac{1}{a _ n} \right\rangle & \left( \ a _ n \neq 0 \text{のとき} \ \right) \\ \ a _ {n+1} = 0 & \left( \ a _ n = 0 \text{のとき} \ \right) \end{array} \right.\)

1. (1)　\(a = \sqrt{2}\) のとき, 数列 \(\{ a _ n \}\) を求めよ.

2. (2)　任意の自然数 \(n\) に対して \(a _ n = a\) となるような \(\dfrac{1}{3}\) 以上の実数 \(a\) をすべて求めよ.

\(p , q\) を \(2\) つの正の整数とする. 整数 \(a , b , c\) で条件 \[ -q \leqq b \leqq 0 \leqq a \leqq p , \quad b \leqq c \leqq a \] を満たすものを考え, このような \(a , b , c\) を \([ a , b ; c ]\) の形に並べたものを \(( p , q )\) パターンと呼ぶ. 各 \(( p , q )\) パターン \([ a , b ; c ]\) に対して \[ w \left( [ a , b ; c ] \right) = p -q -( a+b ) \] とおく.

1. (1)　\(( p , q )\) パターンのうち, \(w \left( [ a , b ; c ] \right) = -q\) となるものの個数を求めよ. また, \(w \left( [ a , b ; c ] \right) = p\) となる \(( p , q )\) パターンの個数を求めよ.

以下 \(p=q\) の場合を考える.

2. (2)　\(s\) を整数とする. \(( p , p )\) パターンで \(w \left( [ a , b ; c ] \right) = -p+s\) となるものの個数を求めよ.

座標平面上の \(1\) 点 P \(\left( \dfrac{1}{2} , \dfrac{1}{4} \right)\) をとる. 放物線 \(y = x^2\) 上の \(2\) 点 Q \(( \alpha , \alpha^2 )\) , R \(( \beta , \beta^2 )\) を, \(3\) 点 P , Q , R が QR を底辺とする二等辺三角形をなすように動かすとき, △PQR の重心 G \(( X , Y )\) の軌跡を求めよ.