\(s , t\) を実数とする. 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(x = s+t+1 , \ y = s-t-1\) とおく. \(s , t\) が \(s \geqq 0 , \ t \geqq 0\) の範囲を動くとき, 点 \((x,y)\) の動く範囲を座標平面内に図示せよ.

2. (2)　\(x = st+s-t+1 , \ y = s+t-1\) とおく. \(s , t\) が実数全体を動くとき, 点 \((x,y)\) の動く範囲を座標平面内に図示せよ.

\(m\) を実数とする. 座標平面上で直線 \(y = x\) に関する対称移動を表す \(1\) 次変換を \(f\) とし, 直線 \(y = mx\) に関する対称移動を表す \(1\) 次変換を \(g\) とする. 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(1\) 次変換 \(g\) を表す行列 \(A\) を求めよ.

2. (2)　合成変換 \(g \circ f\) を表す行列 \(B\) を求めよ.

3. (3)　\(B^3 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) となる \(m\) をすべて求めよ.

袋 A , 袋 B のそれぞれに, \(1\) から \(N\) の自然数がひとつずつ書かれた \(N\) 枚のカードが入っている. これらのカードをよくかきまぜて取り出していく. 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(N=4\) とする. 袋 A , B のそれぞれから同時に \(1\) 枚ずつカードを取り出し, 数字が同じかどうかを確認する操作を繰り返す. ただし, 取り出したカードは元には戻さないものとする. \(4\) 回のカードの取り出し操作が終わった後, 数字が一致していた回数を \(X\) とする. \(X=1 , \ X=2 , \ X=3 , \ X=4\) となる確率をそれぞれ求めよ. また, \(X\) の期待値を求めよ.

2. (2)　\(N=3\) とし, \(n\) は自然数とする. 袋 A , B のそれぞれから同時に \(1\) 枚ずつカードを取り出し, カードの数字が一致していたら, それらのカードを取り除き, 一致していなかったら, 元の袋に戻すという操作を繰り返す. カードが初めて取り除かれるのが \(n\) 回目で起こる確率を \(p _ n\) とし, \(n\) 回目の操作ですべてのカードが取り除かれる確率を \(q _ n\) とする. \(p _ n\) と \(q _ n\) を求めよ.

\(0 \leqq x \leqq \pi\) に対して, 関数 \(f(x)\) を \[ f(x) = \displaystyle\int _ {0}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos |t-x|}{1 +\sin |t-x|} \, dt \] と定める. \(f(x)\) の \(0 \leqq x \leqq \pi\) における最大値と最小値を求めよ.