\(t \gt 0\) を実数とする. 座標平面において, \(3\) 点 A \(( -2 , 0 )\) , B \(( 2 , 0 )\) , C \(( t , \sqrt{3} t )\) を頂点とする三角形 ABP を考える.
(1) 三角形 ABP が鋭角三角形となるような \(t\) の範囲を求めよ.
(2) 三角形 ABP の垂心の座標を求めよ.
(3) 辺 AB , BP , PA の中点をそれぞれ M, Q, R とおく. \(t\) が (1) で求めた範囲を動くとき, 三角形 ABP を線分 MQ , QR , RM で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と, そのときの \(t\) の値を求めよ. ,
\(k \geqq 2\) と \(n\) を自然数とする. \(n\) が \(k\) 個の連続する自然数の和であるとき, すなわち \[ n = m +(m+1) +\cdots +(m+k-1) \] が成り立つような自然数 \(m\) が存在するとき, \(n\) を \(k -\text{連続和}\) と呼ぶことにする. ただし, 自然数とは \(1\) 以上の整数のことである.
(1) \(n\) が \(k -\text{連続和}\) であることは, 次の条件 (A) , (B) の両方が成り立つことと同値であることを示せ.
(A) \(\dfrac{n}{k} -\dfrac{k}{2} +\dfrac{1}{2}\) は整数である.
(B) \(2n \gt k^2\) が成り立つ.
(2) \(f\) を自然数とする. \(n = 2^f\) のとき, \(n\) が \(k -\text{連続和}\) となるような自然数 \(k \geqq 2\) は存在しないことを示せ.
(3) \(f\) を自然数とする. \(p\) を \(2\) でない素数とする. \(n = p^f\) のとき, \(n\) が \(k -\text{連続和}\) となるような自然数 \(k \geqq 2\) の個数を求めよ.
下図のような平行六面体 OABC-DEFG が \(xyz\) 空間内にあり, O \(( 0 , 0 , 0 )\) , A \(( 2 , 0 , 0 )\) , C \(( 0 , 3 , 0 )\) , D \(( -1 , 0 , \sqrt{6} )\) とする. 辺 AB の中点を M とし, 辺 DG 上の点 N を \(\text{MN} = 4\) かつ \(\text{DN} \lt \text{GN}\) を満たすように定める.
(1) N の座標を求めよ.
(2) \(3\) 点 E, M, N を通る平面と \(y\) 軸との交点 P を求めよ.
(3) \(3\) 点 E, M, N を通る平面による平行六面体 OABC-DEFG の切り口の面積を求めよ.
\(1, 2, 3, 4, 5\) のそれぞれの数字は書かれた玉が \(2\) 個ずつ, 合計 \(10\) 個ある.
(1) \(10\) 個の玉を袋に入れ, よくかき混ぜて \(2\) 個の玉を取り出す. 書かれている \(2\) つの数字の積が \(10\) となる確率を求めよ.
(2) \(10\) 個の玉を袋に入れ, よくかき混ぜて \(4\) 個の玉を取り出す. 書かれている \(4\) つの数字の積が \(100\) となる確率を求めよ.
(3) \(10\) 個の玉を袋に入れ, よくかき混ぜて \(6\) 個の玉を順に取り出す. \(1\) 個目から \(3\) 個目の玉に書かれている \(3\) つの数字の積と, \(4\) 個目から \(6\) 個目の玉に書かれている \(3\) つの数字の積が等しい確率を求めよ.
不等式 \(1 \leqq x^2+y^2 \leqq 4\) が表す \(xy\) 平面内の領域を \(D\) とする. P を円 \(x^2+y^2 = 1\) 上の点, Q と R を円 \(x^2+y^2 = 4\) 上の異なる \(2\) 点とし, 三角形 PQR は領域 \(D\) に含まれているとする. \(a , b\) を実数とし, 行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array} \right)\) の表す \(1\) 次変換により P は P' , Q は Q' , R は R' に移される. このとき ,三角形 P'Q'R' が領域 \(D\) に含まれるための \(a , b\) の必要十分条件を求めよ. ただし, 三角形は内部も含めて考えるものとする.
整数 \(n\) に対して, \[ I _ n = \displaystyle\int _ {\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos ( (2n+1) x )}{\sin x} \, dx \ . \] とする.
(1) \(I _ 0\) を求めよ.
(2) \(n\) を正の整数とするとき, \(I _ n -I _ {n-1}\) を求めよ.
(3) \(I _ 5\) を求めよ.
以下の問いに答えよ.
(1) \(n\) を自然数, \(a\) を正の定数として, \[ f(x) = (n+1) \left\{ \log (a+x) -\log (n+1) \right\} -n \left( \log a -\log n \right) -\log x \] とおく. \(x \gt 0\) における関数 \(f(x)\) の極値を求めよ. ただし, 対数は自然対数とする.
(2) \(n\) が \(2\) 以上の自然数のとき, 次の不等式が成り立つことを示せ. \[ \dfrac{1}{n} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \dfrac{k+1}{k} \gt (n+1)^{\frac{1}{n}} \]
\(k\) を実数とする. \(3\) 次式 \(f(x) = x^3-kx^2-1\) に対し, 方程式 \(f(x) = 0\) の \(3\) つの解を \(\alpha , \beta , \gamma\) とする. \(g(x)\) は \(x^3\) の係数が \(1\) である \(3\) 次式で, 方程式 \(g(x) = 0\) の \(3\) つの解が \(\alpha \beta , \beta \gamma , \gamma \alpha\) であるものとする.
(1) \(g(x)\) を \(k\) を用いて表せ.
(2) \(2\) つの方程式 \(f(x) = 0\) と \(g(x) = 0\) が共通の解をもつような \(k\) の値を求めよ.