鋭角三角形 \(\triangle \text{ABC}\) において, 頂点 A , B , C から各対辺に垂線 AD , BE , CF を下ろす. これらの垂線は垂心 H で交わる. このとき, 以下の問に答えよ.

1. (1)　四角形 BCEF と AFHE が円に内接することを示せ.

2. (2)　\(\angle \text{ADE} = \angle \text{ADF}\) であることを示せ.

以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(6\) 以上の整数 \(n\) に対して不等式 \[ 2^n \gt n^2 +7 \] が成り立つことを数学的帰納法により示せ.

2. (2)　等式 \[ p^q = q^p +7 \] を満たす素数の組 \(( p , q )\) をすべて求めよ.

サイコロを \(3\) 回振って出た目の数をそれぞれ \(a , b , c\) とする. 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(a , b , c\) がある直角三角形の \(3\) 辺の長さとなる確率を求めよ.

2. (2)　\(a , b , c\) がある鈍角三角形の \(3\) 辺の長さとなる確率を求めよ.

多項式 \(P(x)\) を \[ P(x) = \dfrac{(x+i)^7 -(x-i)^7}{2i} \] により定める. ただし, \(i\) は虚数単位とする. 以下の問いに答えよ.

1. (1)　 \[\begin{align} P(x) & = a _ 0 x^7 +a _ 1 x^6 +a _ 2 x^5 +a _ 3 x^4 \\ & \qquad +a _ 4 x^3 +a _ 5 x^2 +a _ 6 x +a _ 7 \end{align}\] とするとき, 係数 \(a _ 0 , \cdots , a _ 7\) をすべて求めよ.

2. (2)　\(0 \lt \theta \lt \pi\) に対して \[ P \left( \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta} \right) = \dfrac{\sin 7 \theta}{\sin^7 \theta} \] が成り立つことを示せ.

3. (3)　(1) で求めた \(a _ 1 , a _ 3 , a _ 5 , a _ 7\) を用いて, 多項式 \(Q (x) = a _ 1 x^3 +a _ 3 x^2 +a _ 5 x^2 +a _ 7\) を考える. \(\theta = \dfrac{\pi}{7}\) として, \(k = 1, 2, 3\) について \[ x _ k = \dfrac{\cos^2 k \theta}{\sin^2 k \theta} \] とおく. このとき, \(Q ( x _ k ) = 0\) が成り立つことを示し, \(x _ 1 + x _ 2 + x _ 3\) の値を求めよ.

空間内に, 直線 \(l\) で交わる \(2\) 平面 \(\alpha , \beta\) と交線 \(l\) 上の \(1\) 点 O がある. さらに, 平面 \(\alpha\) 上の直線 \(m\) と平面 \(\beta\) 上の直線 \(n\) を, どちらも点 O を通り \(l\) に垂直にとる. \(m , n\) 上にそれぞれ点 P , Q があり, \[ \text{OP} = \sqrt{3} , \quad \text{OQ} = 2 , \quad \text{PQ} = 1 \] であるとする. 線分 PQ 上の動点 T について, \(\text{PT} = t\) をおく. 点 T を中心とした半径 \(\sqrt{2}\) の球を考える. このとき, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(S\) の平面 \(\alpha\) による切り口の面積を \(t\) を用いて表せ.

2. (2)　\(S\) の平面 \(\alpha\) による切り口の面積と \(S\) の平面 \(\beta\) による切り口の面積の和を \(f(t)\) とおく. T が線分 PQ 上を動くとき, \(f(t)\) の最大値と, そのときの \(t\) の値を求めよ.

関数 \[ f(x) = \displaystyle\int _ {0}^{\pi} \left| \sin (t-x) -\sin 2t \right| \, dt \] の区間 \(0 \leqq x \leqq \pi\) における最大値と最小値を求めよ.