座標平面上の \(2\) つの放物線 \[\begin{align} A : & \ y = x^2 \\ B : & \ y = -x^2 +px +q \end{align}\] が点 \(( -1 , 1 )\) で接している. ここで, \(p\) と \(q\) は実数である. さらに, \(t\) を正の実数とし, 放物線 \(B\) を \(x\) 軸の正の方向に \(2t\) , \(y\) 軸の正の方向に \(t\) だけ平行移動して得られる放物線を \(C\) とする.
(1) \(p\) と \(q\) の値を求めよ.
(2) 放物線 \(A\) と \(C\) が囲む領域の面積を \(S(t)\) とする. ただし, \(A\) と \(C\) が領域を囲まないときは \(S(t) = 0\) と定める. \(S(t)\) を求めよ.
(3) \(t \gt 0\) における \(S(t)\) の最大値を求めよ.
以下の問いに答えよ. ただし, (1) については, 結論のみを書けばよい.
(1) \(n\) を正の整数とする. \(3^n\) を \(10\) で割った余りを \(a_n\) とする. \(a_n\) を求めよ.
(2) \(n\) を正の整数とし, する. \(3^n\) を \(4\) で割った余りを \(b_n\) とする. \(b_n\) を求めよ.
(3) 数列 \(\{ x_n \}\) を次のように定める. \[ x_1 = 1 , \quad x _ {n+1} = 3^{ x_n } \ ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] \(x_{10}\) を \(10\) で割った余りを求めよ.
正の実数 \(m , n\) に対して \(f( m , n )\) が次の等式を満たすように定められている. \[ \left\{ \begin{array}{l} f( 1 , 1 ) = 1 , \ f( 2 , 2 ) = 6 , \ f( 3 ,3 ) = 20 \\ f( m , n ) = 2 f( m-1 , n ) \quad ( m \geqq 2 )\\ f( m , n ) +3 f( m , n-2 ) = 3 f( m , n-1 ) +f( m , n-3 ) \quad ( n \geqq 4 )\end{array} \right. \] 次の問に答えよ.
(1) \(f( m , 1 )\) および \(f( 1 , n )\) をそれぞれ \(m , n\) の式で表せ.
(2) \(f( 6 , 32 )\) の値を求めよ.
(3) 任意の正の整数 \(l\) に対して, \(f( m , n ) = l\) を満たす正の整数 \(m , n\) が存在することを示せ.
正方形 ABCD を底面, 点 P を頂点とする正四角錐 PABCD に内接する球について考える. ただし, 正四角錐とは, 頂点と底面の正方形の中心を結ぶ直線が底面と垂直になる角錐である. 線分 AB の中点を M とし, 線分 AM および 線分 PM の長さをそれぞれ \(a , b\) とする. 次の問に答えよ.
(1) 内接する球の半径を \(a , b\) を用いて表せ.
(2) \(x = \dfrac{b}{a}\) と定めるとき, \(\dfrac{\text{内接する球の表面積}}{\text{正四角錐 PABCD の表面積}}\) を \(x\) で表し, その最大値を求めよ.
(3) (2) で最大値をとるときの正四角錐 PABCD の体積を \(a\) を用いて表せ.
\(f(x) = x^3 -x\) とする. \(xy\) 平面上の点 \(( p , q )\) から曲線 \(y = f(x)\) へ引いた接線を考える. 次の問に答えよ.
(1) 直線 \(y = m(x-p) +q\) が曲線 \(y = f(x)\) の接線となるための条件を \(m , p , q\) を用いて表せ.
(2) 点 \(( p , q )\) から曲線 \(y = f(x)\) に \(3\) 本の接線を引くことができるとき, \(p , q\) の条件を求めよ.
(3) (2) の条件を満たす点 \(( p , q )\) の範囲を図示せよ.
\(xyz\) 空間上に点 A \(( 0 , 0 , \sqrt{3} )\) をとる. \(xy\) 平面上の点 P \(( a , b , 0 )\) は, 線分 AP の長さが \(2\) で, \(a \geqq 0\) , \(b \geqq 0\) となるように動く. このとき線分 AP がえがく図形を \(F\) とする. 次の問に答えよ.
(1) 点 P の軌跡を \(xy\) 平面上に図示せよ.
(2) 点 Q \(( x , y , z )\) を図形 \(F\) 上の点とするとき, \(z\) を \(x , y\) を用いて表せ.
(3) 図形 \(F\) , 座標平面 \(x=0\) , \(y=0\) , \(z=0\) によって囲まれる部分を \(x\) 軸の周りに \(1\) 回転してできる回転体を \(V\) とする. \(V\) の平面 \(x=t\) による切り口の面積 \(S(t)\) を \(t\) を用いて表せ.
(4) \(V\) の体積を求めよ.
次の問いに答えよ.
(1) 関数 \(f(x) = \dfrac{\log (1-x)}{x}\) は \(0 \lt x \lt 1\) の範囲で減少することを示せ.
(2) 極限値 \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{1}{n} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} \dfrac{1}{\tan \left( \dfrac{(n+k) \pi}{6n} \right)} \] を求めよ.
数列 \(\{ a _ n \}\) は \[ a _ 1 = 5 , \quad {a _ 1}^2 +{a _ 2}^2 + \cdots +{a _ n}^2 = \dfrac{2}{3} a _ n a _ {n+1} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] をみたすとする. 次の問いに答えよ.
(1) \(a _ 2 , a _ 3\) を求めよ.
(2) \(a _ {n+2}\) を \(a _ n , a _ {n+1}\) を用いて表せ.
(3) 一般項 \(a _ n\) を求めよ.